时间序列模型matlab_平稳时间序列分析01---AR模型

引言

根据Wold分解定理，任意一个离散平稳时间序列都可以分解为一个确定性平稳序列和一个随机性平稳序列之和。且确定性序列可以表达为历史序列值的线性函数，而随机性序列可以表达为历史新息（历史纯随机波动）的线性组合，即

上式在统计上被称为自回归移动平均模型 (auto-regression moving average), 简称为 ARMA模型。

Wold分解定理保证了平稳序列一定可以用某个 ARMA 模型等价表达, 所以 ARMA模型是目前最常用的平稳序列拟合与预测模型。

ARMA 模型实际上是一个模型族, 它又可细分为 AR 模型, MA 模型和 ARMA 模型三大类。

AR模型的定义

具有如下结构的模型称为p阶自回归模型，简记为

特别当

时，称为中心化

模型

令

，称

是

的中心化序列

自回归系数多项式

引进延迟算子，中心化

模型又可以简记为

称下式为p阶自回归系数多项式

延迟算子

延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻

记B为延迟算子，有

所以

模型的简写形式如下导出

延迟算子的性质

AR模型平稳性判别

判别原因

要拟合一个平稳序列的发展, 用来拟合的模型显然也应该是平稳的。AR 模型是常用的平稳序列的拟合模型之一, 但并非所有的 AR 模型都是平稳的。

判别方法

特征根判别法

平稳域判别法

例1

考察如下四个模型的平稳性

平稳特征

非平稳特征

特征根判别

p阶自回归序列平稳，要求p个非零特征根都在单位圆内，即

在引入延迟算子之后, 我们还可以推导出跟特征根判别等价的性质: p阶自回归序列平稳的条件是自回归系数多项式的p 个根都在单位圆外

平稳域判别

对于一个

模型而言，如果没有平稳性的要求，实际上也就意味着对参数向量没有任何限制，它们可以取遍维欧氏空间的任意一点

如果加上了平稳性限制，参数向量就只能取维欧氏空间的一个子集，使得特征根都在单位圆内的系数集合

对于低阶自回归模型用平稳域的方法判别模型的平稳性通常更为简便

AR(1)模型平稳条件

方程结构

特征根

平稳域

AR(2)模型的平稳条件

方程结构

特征根

平稳域

AR(2)的平稳域

例1续

分别用特征根判别法和平稳域判别法检验例3-1中四个 AR 模型的平稳性

平稳性判别

平稳AR模型的统计性质——均值

如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有

根据平稳序列均值为常数，且

为白噪声序列，有

推导出

平稳AR模型的统计性质——方差

要得到平稳 AR(p)模型的方差, 需要借助 Green函数的帮助

Green函数的定义

假设

为任意p阶的平稳 AR 模型, 那么一定存在一个常数序列

使得

可以等价表达为纯随机序列

的线性组合, 即

这个常数序列

就称为 Green函数

基于Green函数，可以求出AR(p)模型的方差为

Green函数的递推公式

原理

方法：待定系数法

例2

求平稳 AR(1) 模型

的 Green函数的递推公式, 并基于 Green函数求解 AR(1) 模型的方差。

平稳AR(1)模型的Green函数递推公式为

平稳AR(1)模型的方差为

平稳AR模型的统计性质——协方差函数

在平稳AR(p)模型两边同乘

，再求期望

根据

得协方差函数的递推公式

例3

求平稳AR(1)模型的协方差

递推公式

因为平稳AR(1)模型的方差为

所以协方差函数的递推公式为

例4

求平稳AR(2)模型的协方差

平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为

平稳AR模型的统计性质——自相关系数

自相关系数的定义

平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式

常用AR模型自相关系数递推公式

AR(1)模型

AR(2)模型

AR模型自相关系数的性质

AR模型的自相关系数的表达式实际上是一个齐次差分方程，它的通解形式为

根据自相关系数的通解形式，可以判断AR模型的自相关系数具有如下特征

呈指数衰减

拖尾性

例5

考察如下AR模型的自相关图

图示解释

从上图中可以看到, 这四个平稳 AR 模型, 不论它们是 AR(1)模型还是 AR(2)模型, 不论它们的特征根是实根还是复根, 是正根还是负根, 它们的自相关系数都呈现出拖尾性和呈指数衰减到零值附近的性质。

但由于特征根不同, 它们的自相关系数衰减的方式也不一样

有的是按负指数单调衰减 (如模型(1))
有的是正负相间地衰减 (如模型(2))
有的呈现出类似于周期性的余弦衰减, 即具有 “伪周期” 特征 (如模型(3))
有的是不规则衰减（如模型(4)）

偏自相关系数(partial autocorrelation function,PACF )

时间序列过程的偏自相关函数就是时间序列在两个时间随机变量之间，排除了其间各个时间随机变量影响的相关系数。

偏自相关系数的定义

对于平稳

序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间

个随机变量

的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，

对

影响的相关度量。用数学语言描述就是

偏自相关系数的计算

基于Yule-Walker方程组计算偏自相关系数

在方程

等号两边同时乘以

，等号两边求期望再除以方差，得

取前k个方程构成的方程组即Yule-Walker方程组

解Yule-Walker方程组可以得到参数

的解，最后一个参数的解即为延迟K偏自相关系数

AR(1)模型偏自相关系数的计算

AR(1)模型

Jule-Walker方程

偏自相关系数的解

AR(2)模型偏自相关系数的计算

基于矩阵结构计算偏自相关系数

证明AR(p)模型偏自相关系数p阶截尾

所谓p 阶截尾, 是指

。要证明这一点, 实际上只要能证明当

时,

即可。

例5续

求如下AR模型的偏自相关系数，并考察它们的偏自相关图特征

AR模型的偏自相关系数

AR序列的偏自相关图

1、已知AR(1)模型为:

解：

2、已知某AR(2)模型为:

解：

3、已知某AR(2)模型为:

解：

4、已知AR(2)序列为:

解：

5、证明对任意常数c,如下定义的AR(3)序列-定是非平稳序列:

解：

6、对于AR(1)模型,

判断如下命题是否正确