线性代数及其应用知识整理

1. 线性方程组

线性方程：形如 a1x1+a2x2+⋯+anxn=ba_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=ba1x1+a2x2+⋯+anxn=b 的方程。

线性方程组：线性方程的组合。

解集：线性方程组所有可能的解的集合。当两个线性方程组的解集相同时，称这两个线性方程组等价。

线性方程组解的情况只有三种：

无解
有唯一解
有无穷多解

通过几何来理解，（二元一次）线性方程组中的每个方程都代表了一条直线，当方程组无解时，代表这些直线没有任何交点，也就是互相平行；有唯一解时，一个公共交点；无穷多解时，直线的公共相交部分是一条直线。

若一个线性方程组有一个或多个解，则称这个线性方程组是相容的；若线性方程组无解，则不相容，此时方程组的解集是空集。

线性方程组可以通过矩阵来表示。矩阵提供了线性方程组的一种简约记法：

{x1−2x2+x3=02x2−8x3=85x1−5x3=10\begin{cases} \ x_1-2x_2+x_3=0\\ \ 2x_2-8x_3=8 \\ \ 5x_1-5x_3=10\\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x1−2x2+x3=0 2x2−8x3=8 5x1−5x3=10 ⟶{\longrightarrow}⟶ [1−21002−8850−510]\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right]⎣⎡105−2201−8−50810⎦⎤

该矩阵又称为增广矩阵，意思是扩大了的矩阵。

上面矩阵的子矩阵 [1−2102−850−5]\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8\\ 5 & 0 & -5 \end{array}\right]⎣⎡105−2201−8−5⎦⎤ 称为系数矩阵。

1.1 解线性方程组

通过对线性方程组所代表的矩阵进行初等行变化，可以解线性方程组。

解方程组的过程：

方程组是否有解？
若有解，是有唯一解，还是有无穷多解？

初等行变换：

（倍加）将某一行换成它本身或另一行的倍数的和。
（对换）把两行互换。
（倍乘）让某一行的所有元素乘以同一个非零数。

行变换是可逆的。

若两个矩阵彼此间可以通过若干行变换来得到，则称这两个矩阵行等价。

1.1.1 方程组的解

对于

[10−5101140000]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]⎣⎡100010−510140⎦⎤ ⟶{\longrightarrow}⟶ {x1−5x3=1x2+x3=40=0\begin{cases} \ x_1-5x_3=1\\ \ x_2+x_3=4\\ \ 0=0\\ \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ x1−5x3=1 x2+x3=4 0=0 ⟶{\longrightarrow}⟶ {x1=1+5x3x2=4−x3\begin{cases} \ x_1 = 1 + 5x_3\\ \ x_2 = 4 - x_3\\ \end{cases}{ x1=1+5x3 x2=4−x3

这里 x1x_1x1 和 x2x_2x2 称为基本变量，其他变量称为自由变量，自由变量可取任意值。最后给出的方程组的解称为该方程组的通解。

1.1.2 行化简和阶梯形矩阵

矩阵中，非零行(列)是指至少包含一个非零元素的行(列)。

非零行的先导元素是指该行最左边的非零元素。

阶梯形矩阵：相同高度的台阶，台阶长度无所谓。

[1−21002−8800−510]\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 0 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right]⎣⎡100−2201−8−50810⎦⎤

简化阶梯形矩阵：

[101001−44001−2]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]⎣⎡1000101−4104−2⎦⎤

简化阶梯形矩阵的定义：

非零行的先导元素为 1。
这些先导元素是其所在列的唯一非零元素。

任何非零矩阵可通过行化简（也就是初等行变换）变为阶梯形矩阵。一个矩阵可转化为的阶梯形矩阵可以有很多种，但简化阶梯形矩阵只有唯一一种。

主元位置：一个矩阵的行简化阶梯形中先导元素 1 所在的位置。
如：[1−21002−8850−510]\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right]⎣⎡105−2201−8−50810⎦⎤ 的行简化阶梯形为 [101001−44001−2]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4\\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]⎣⎡1000101−4104−2⎦⎤ ，则该矩阵的第 1 行第 1 列、第 2 行第2 列、第 3 行第 3 列是该矩阵的主元位置。

主元列：主元位置所在的列。

主元：主元位置上非零的元素，用于将其下方的元素化为 0 。
如 [1−21002−8850−510]\left[\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right]⎣⎡105−2201−8−50810⎦⎤ ，该矩阵中，第 1 行第 1 列的元素 1 就是该矩阵的一个主元，可用于将下方的 5 化为 0 。

2. 向量方程

给定 nnn 维向量 v1,v2,…,vpv_1,v_2,\dots,v_pv1,v2,…,vp 和标量 c1,c2,…,cpc_1,c_2,\dots,c_pc1,c2,…,cp ，向量 y=c1v1+⋯+cpvpy=c_1v_1+\dots+c_pv_py=c1v1+⋯+cpvp 称为 v1,v2,…,vpv_1,v_2,\dots,v_pv1,v2,…,vp 以 c1,c2,…,cpc_1,c_2,\dots,c_pc1,c2,…,cp 为权的线性组合。

向量方程：形如 x1a1+x2a2+⋯+xnan=bx_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=bx1a1+x2a2+⋯+xnan=b 的方程。其中 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_nx1,x2,…,xn为标量，a1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_na1,a2,…,an 和 bbb 为同维度的向量。

如：x1[11]+x2[03]=[82]x_1\left[\begin{array}{cccc} 1 \\1 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{cccc} 0 \\3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 8 \\2 \end{array}\right]x1[11]+x2[03]=[82] 就是一个向量方程，可记作矩阵形式：[108132]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 8 \\ 1 & 3 &2 \end{array}\right][110382]

该向量方程的等价线性方程组形式为 {x1=8x1+3x2=2\begin{cases} \ x_1=8\\ \ x_1+3x_2=2\\ \end{cases}{ x1=8 x1+3x2=2

总而言之，向量方程与线性方程组是互通的。

给定 nnn 维向量 v1,v2,…,vpv_1,v_2,\dots,v_pv1,v2,…,vp ，这些向量的所有线性组合，即 c1v1+⋯+cpvpc_1v_1+\dots+c_pv_pc1v1+⋯+cpvp，称为这些向量张成的空间，记作 Span{v1,v2,…,vp}\text{Span}\{v_1,v_2,\dots,v_p\}Span{v1,v2,…,vp}

判断向量 bbb 是否属于 Span{v1,v2,…,vp}\text{Span}\{v_1,v_2,\dots,v_p\}Span{v1,v2,…,vp}，就是在判断向量方程 c1v1+⋯+cpvp=bc_1v_1+\dots+c_pv_p=bc1v1+⋯+cpvp=b 是否有解，也就是在判断对应的线性方程组是否有解。

3. 矩阵方程

向量的线性组合可以看作是矩阵与向量的积：
x1a1+x2a2+⋯+x3a3=[a1a2⋯an][x1x2⋮xn]=Axx_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_3a_3=\left[\begin{array}{cccc} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right]=Axx1a1+x2a2+⋯+x3a3=[a1a2⋯an]⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤=Ax
其中a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_na1,a2,…,an 均为 nnn 维向量，x1,x2,…,xnx_1,x_2,\dots,x_nx1,x2,…,xn 均为标量。

矩阵方程：形如 Ax=bAx=bAx=b 的方程。

矩阵方程、向量方程和线性方程组彼此互通：

<图> 矩阵方程、向量方程和线性方程组之间的关系

矩阵与向量之间的乘法于是可以有另一种理解：

[234−15−36−28][x1x2x3]=x1[2−16]+x2[35−2]+x3[4−38]=[2x1+3x2+4x3−x1+5x2−3x36x1−2x2+8x3]\left[\begin{array}{cccc} 2& 3 & 4 \\ -1 & 5 & -3 \\ 6 & -2 & 8 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{cccc} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{cccc} 3 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{cccc} 4 \\ -3 \\ 8 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 2x_1+3x_2+4x_3 \\ -x_1+5x_2-3x_3 \\ 6x_1-2x_2+ 8x_3 \end{array}\right]⎣⎡2−1635−24−38⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤=x1⎣⎡2−16⎦⎤+x2⎣⎡35−2⎦⎤+x3⎣⎡4−38⎦⎤=⎣⎡2x1+3x2+4x3−x1+5x2−3x36x1−2x2+8x3⎦⎤

上面的矩阵可以看作是 3 个列向量的组合。