矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（5）—

矩阵论专栏：专栏（文章按照顺序排序）

本篇博客的上篇是矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（4）——线性空间与线性变换，梳理了线性空间与线性变换的相关内容。本文主要整理矩阵的特征值与相似的相关内容。

方阵的特征值
- 特征值的定义及性质
- 特殊矩阵的特征值与特征向量（对角矩阵、上（下）三角矩阵、酋矩阵、分块矩阵）
- A A A、 A T A^T AT、 A H A^H AH的特征值的关系
- A H A A^HA AHA和 A A H AA^H AAH的特征值的关系（推广： A B AB AB和 B A BA BA的特征值的关系）
相似变换与相似对角化
- 相似矩阵的定义及性质
- Sylvester定理
- 相似对角化的定义及其充要条件
- 相似对角化的一个应用：求解斐波那契数列的通项

通常情况下，我们在复数域中讨论特征值和特征向量。但本文为更具一般性，在一般的数域 F F F下讨论。当讨论在某一数域 F F F下n级矩阵的特征值时，特征值必须是 F F F中的数。例如，在实数域下讨论n级矩阵的特征值，则特征值一定都是实数，在这种情况下某些实矩阵根本就没有特征值。
但是也需要注意一些表达上的灵活性，比如我们说n阶实矩阵有n个复特征值，这是没有问题的，这里实际上是把实矩阵看成是复数域下的一个矩阵，也就是说这里讨论的前提是在复数域 C C C下讨论。

文中“全部特征值”这种说法，是指域 F F F下的n级矩阵 A A A的特征方程 d e t ( λ I − A ) = 0 det(\lambda{}I-A)=0 det(λI−A)=0在域 F F F下的所有根，且重根按重数算，即一个 k k k重根当成 k k k个特征值来看。

矩阵的特征值

特征值的定义及性质

定义（线性变换的特征值与特征向量）：设有数域 F F F上的 n n n维线性空间 V V V， T T T是 V V V上的线性变换，若存在 λ ∈ F \lambda \in F λ∈F， 0 ≠ x ∈ V 0\neq x\in V 0=x∈V使得 T ( x ) = λ x T(x)=\lambda x T(x)=λx，则称 λ \lambda λ为 T T T的一个特征值， x x x是 T T T的对应于 λ \lambda λ一个特征向量
定义（方阵的特征值与特征向量）：设 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n，若 ∃ λ ∈ F , 0 ≠ x ∈ F n \exists{\lambda}\in{F},0\neq x\in{F^n} ∃λ∈F,0=x∈Fn使得 A x = λ x Ax=\lambda{x} Ax=λx，或者等价地 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda{I}-A)x=0 (λI−A)x=0，则称 λ \lambda λ是A的一个特征值， x x x是A的对应于 λ \lambda λ的一个特征向量

任意给定线性空间上的一组基，那么线性变换的特征值与线性变换的矩阵（给定基下的矩阵）的特征值相同，线性变换的矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在给定基下的坐标。这个关系可以从线性变换在给定基下的矩阵的定义导出，相关的线性空间与线性变换的知识见上一篇博客链接。
本文采用矩阵语言讨论特征值和特征向量。

定义（特征值的集合）：设 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n，用 σ ( A ) \sigma (A) σ(A)表示 A A A的所有特征值的集合
定理： λ \lambda λ是n阶方阵A的特征值的充要条件为 d e t ( λ I − A ) = 0 det(\lambda{}I-A)=0 det(λI−A)=0

证：
由特征值的定义， λ \lambda λ是n阶方阵A的特征值的充要条件为齐次线性方程组 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda{I}-A)x=0 (λI−A)x=0有非零解，而有非零解的充要条件为系数矩阵 λ I − A \lambda{I}-A λI−A不可逆，从而充要条件为 d e t ( λ I − A ) = 0 det(\lambda{}I-A)=0 det(λI−A)=0。

【注】 d e t ( λ I − A ) = 0 det(\lambda{}I-A)=0 det(λI−A)=0是关于 λ \lambda λ的一元n次方程，这个定理揭示了特征值与一元n次多项式方程的关系。在复数域下，一元n次多项式方程恰好有n个根（这个是复数域代数封闭性的一个直接推论，注意重根按重数算），因此n阶复方阵恰好有n个特征值（重特征值按重数算）。在代数不封闭的数域，如实数域和有理数域中，n阶方阵至多有n个特征值（重根按重数算）。
定义（谱半径）：设 A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n， λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,⋯,λn是 A A A的全部特征值，称 ρ ( A ) = max ⁡ { ∣ λ 1 ∣ , ∣ λ 2 ∣ , . . . , ∣ λ n ∣ } \rho(A)=\max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|,...,|\lambda_n|\} ρ(A)=max{∣λ1∣,∣λ2∣,...,∣λn∣}为 A A A的谱半径，其中 ∣ ∙ ∣ |\bullet| ∣∙∣表示复数的模

【注】也就是说，谱半径是矩阵特征值的最大模。谱半径这个概念在计算数学中有重要应用。注意一般这个概念是复数域下的，一个实矩阵/有理数矩阵的谱半径是它的所有复特征值的最大模。
定义： d e t ( λ I − A ) = 0 det(\lambda{}I-A)=0 det(λI−A)=0称为A的特征方程；关于 λ \lambda λ的一元n次多项式 d e t ( λ I − A ) det(\lambda{}I-A) det(λI−A)称为A的特征多项式；若 λ \lambda λ是A的特征值，则齐次线性方程组 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda{I}-A)x=0 (λI−A)x=0的解空间（也就是系数矩阵 λ I − A \lambda I-A λI−A的零空间 N ( λ I − A ) N(\lambda I-A) N(λI−A)）称为 λ \lambda λ的特征子空间

【注】关于矩阵特征多项式的详细展开式，请参考矩阵论（补充知识）：特征多项式的展开式。
定义：若方阵A的特征值 λ \lambda λ是A的特征方程的k重根，则称k是 λ \lambda λ的代数重数； λ \lambda λ对应的特征子空间的维数 dim ⁡ N ( λ I − A ) \dim N(\lambda I-A) dimN(λI−A)称为 λ \lambda λ的几何重数
定理： A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n的全部不同特征值的代数重数之和为n

证：根据n阶复方阵恰好有n个特征值这一事实，以及代数重数的定义可得。
【注】这个结论对一般的数域并不成立。一般的数域 F F F中，n阶方阵的全部不同特征值的代数重数之和不大于 n n n。
定理： A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n的任意特征值的几何重数小于等于代数重数

证：
法1：利用基的扩充和相似（相似矩阵的内容见后文）
设 λ \lambda λ是 A A A的一个特征值， λ \lambda λ对应的特征子空间 N ( λ I − A ) N(\lambda I-A) N(λI−A)的维数为s，即 λ \lambda λ的几何重数为s。取 N ( λ I − A ) N(\lambda I-A) N(λI−A)的一组基 x 1 , x 2 , . . . , x s x_1,x_2,...,x_s x1,x2,...,xs，由扩充定理知可将它扩充为 F n F^n Fn的一组基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn。令 P = [ x 1 x 2 ⋯ x n ] P=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix} P=[x1x2⋯xn]，则 P P P为可逆矩阵，由 P − 1 P = I P^{-1}P=I P−1P=I并根据分块矩阵乘法可得 P − 1 [ x 1 x 2 ⋯ x s ] = [ I s O ] P^{-1}\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_s\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}I_s\\O\end{bmatrix} P−1[x1x2⋯xs]=[IsO]。令 B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B=P−1AP，则 B = P − 1 [ A x 1 ⋯ A x s ∗ ] = P − 1 [ λ x 1 ⋯ λ x s ∗ ] = [ λ P − 1 [ x 1 x 2 ⋯ x s ] ∗ ] = [ λ I s ∗ O ∗ ] \begin{aligned}B&=P^{-1}\begin{bmatrix}Ax_1&\cdots&Ax_s&*\end{bmatrix}\\&=P^{-1}\begin{bmatrix}\lambda x_1&\cdots&\lambda x_s&*\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\lambda P^{-1}\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_s\end{bmatrix}&*\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\lambda I_s&*\\O&*\end{bmatrix}\end{aligned} B=P−1[Ax1⋯Axs∗]=P−1[λx1⋯λxs∗]=[λP−1[x1x2⋯xs]∗]=[λIsO∗∗]通过对上面这个分块矩阵的特征多项式进行拉普拉斯展开就得知， λ \lambda λ是 B B B的特征值且其代数重数至少为 s s s。因为 B B B与 A A A相似，故 B B B的特征值 λ \lambda λ的代数重数与 A A A的特征值 λ \lambda λ的代数重数相等，故 A A A的特征值 λ \lambda λ的代数重数不小于 s s s，即不小于其几何重数。得证。
法2：当 F = C F=C F=C时可以利用矩阵分解（schur分解，具体证明见矩阵论（二）：矩阵分解—从Schur分解、特征值分解EVD到奇异值分解SVD）
定理：设 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n的全部特征值分别为 λ 1 , λ 2 , . . . , λ s \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s λ1,λ2,...,λs，则 μ I + A , μ ∈ F \mu I+A,\mu\in F μI+A,μ∈F的全部特征值为 μ + λ 1 , μ + λ 2 , . . . , μ + λ s \mu+\lambda_1,\mu+\lambda_2,...,\mu+\lambda_s μ+λ1,μ+λ2,...,μ+λs

证：
μ I + A \mu I+A μI+A的特征多项式为 d e t ( λ I − ( μ I + A ) ) = d e t ( ( λ − μ ) I − A ) det(\lambda I-(\mu I+A))=det((\lambda-\mu)I-A) det(λI−(μI+A))=det((λ−μ)I−A)，由已知特征方程 d e t ( λ I − A ) det(\lambda I-A) det(λI−A)的s个根为 λ 1 , λ 2 , . . . , λ s \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s λ1,λ2,...,λs，显然特征方程 d e t ( ( λ − μ ) I − A ) = 0 det((\lambda-\mu)I-A)=0 det((λ−μ)I−A)=0的s个根为 μ + λ 1 , μ + λ 2 , . . . , μ + λ s \mu+\lambda_1,\mu+\lambda_2,...,\mu+\lambda_s μ+λ1,μ+λ2,...,μ+λs，得证。
【注】该结论是一个比较明显的结论，也十分常用。注意，结论蕴含着“若 λ i \lambda_i λi是 A A A的 k k k重特征值（此处指代数重数），则 μ + λ i \mu+\lambda_i μ+λi是 μ I + A \mu I+A μI+A的 k k k重特征值”。
定理：设 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s \lambda{}_1,\lambda{}_2,\cdots,\lambda{}_s λ1,λ2,⋯,λs是A的互不相同的特征值， x i 1 , x i 2 , ⋯ , x i j i x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ij_i} xi1,xi2,⋯,xiji是A关于 λ i \lambda{}_i λi的线性无关的特征向量，则 x 11 , ⋯ , x 1 j 1 , x 21 , ⋯ , x 2 j 2 , ⋯ , x s 1 , ⋯ , x s j s x_{11},\cdots,x_{1j_1},x_{21},\cdots,x_{2j_2},\cdots,x_{s1},\cdots,x_{sj_s} x11,⋯,x1j1,x21,⋯,x2j2,⋯,xs1,⋯,xsjs是线性无关的

证明：（数学归纳法）
当s=1时，显然命题成立。
假设当s=i时，命题成立，则当s=i+1时，设 k 11 x 11 + ⋯ + k 1 j 1 x 1 j 1 + k 21 x 21 + ⋯ + k 2 j 2 x 2 j 2 + ⋯ + k s 1 x s 1 + ⋯ + k s j s x s j s = 0 k_{11}x_{11}+\cdots+k_{1j_1}x_{1j_1}+k_{21}x_{21}+\cdots+k_{2j_2}x_{2j_2}+\cdots\\+k_{s1}x_{s1}+\cdots+k_{sj_s}x_{sj_s}=0 k11x11+⋯+k1j1x1j1+k21x21+⋯+k2j2x2j2+⋯+ks1xs1+⋯+ksjsxsjs=0
用A左乘两端并整理得： λ 1 ( k 11 x 11 + ⋯ + k 1 j 1 x 1 j 1 ) + ⋯ + λ s ( k s 1 x s 1 + ⋯ + k s j s x s j s ) = 0 \lambda{}_1(k_{11}x_{11}+\cdots+k_{1j_1}x_{1j_1})+\cdots+\lambda{}_s(k_{s1}x_{s1}+\cdots+k_{sj_s}x_{sj_s})=0 λ1(k11x11+⋯+k1j1x1j1)+⋯+λs(ks1xs1+⋯+ksjsxsjs)=0由以上两式消去 k s 1 x s 1 + ⋯ + k s j s x s j s k_{s1}x_{s1}+\cdots+k_{sj_s}x_{sj_s} ks1xs1+⋯+ksjsxsjs得 ( λ s − λ 1 ) ( k 11 x 11 + ⋯ + k 1 j 1 x 1 j 1 ) + ⋯ + ( λ s − λ s − 1 ) ( k ( s − 1 ) 1 x ( s − 1 ) 1 + ⋯ + k ( s − 1 ) j s − 1 x ( s − 1 ) j s − 1 ) = 0 \begin{aligned}(\lambda{}_s-\lambda{}_1)(k_{11}x_{11}+\cdots+k_{1j_1}x_{1j_1})+\cdots+\\(\lambda{}_s-\lambda{}_{s-1})(k_{(s-1)1}x_{(s-1)1}+\cdots+k_{(s-1)j_{s-1}}x_{(s-1)j_{s-1}})=0\end{aligned} (λs−λ1)(k11x11+⋯+k1j1x1j1)+⋯+(λs−λs−1)(k(s−1)1x(s−1)1+⋯+k(s−1)js−1x(s−1)js−1)=0由特征值互不相等及假设知 k 11 = ⋯ = k 1 j 1 = ⋯ = k ( s − 1 ) 1 = ⋯ = k ( s − 1 ) j s − 1 = 0 k_{11}=\cdots=k_{1j_1}=\cdots=k_{(s-1)1}=\cdots=k_{(s-1) j_{s-1}}=0 k11=⋯=k1j1=⋯=k(s−1)1=⋯=k(s−1)js−1=0故 k s 1 x s 1 + ⋯ + k s j s x s j s = 0 k_{s1}x_{s1}+\cdots+k_{sj_s}x_{sj_s}=0 ks1xs1+⋯+ksjsxsjs=0，由题设知 k s 1 = ⋯ = k s j s = 0 k_{s1}=\cdots=k_{sj_s}=0 ks1=⋯=ksjs=0，故命题对s=i+1时也成立。故由归纳假设，原命题成立。得证。

【注】这个定理很有用的地方在于，如果我们分别取 N ( λ 1 I − A ) N(\lambda_1 I-A) N(λ1I−A)、 N ( λ 2 I − A ) N(\lambda_2 I-A) N(λ2I−A)、……、 N ( λ s I − A ) N(\lambda_s I-A) N(λsI−A)的基，当我们把所有这些基中的向量合在一起时得到的是一个线性无关向量组。实际上，我们将得到 ∑ i = 1 s N ( λ i I − A ) \sum_{i=1}^sN(\lambda_i I-A) ∑i=1sN(λiI−A)的基。根据多个子空间直和的定义，这就意味着 ∑ i = 1 s N ( λ i I − A ) = ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) \sum_{i=1}^sN(\lambda_i I-A)=\oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A) ∑i=1sN(λiI−A)=⊕i=1sN(λiI−A)，进而也有 dim ⁡ ∑ i = 1 s N ( λ i I − A ) = ∑ i = 1 s dim ⁡ N ( λ i I − A ) \dim \sum_{i=1}^sN(\lambda_i I-A)=\sum_{i=1}^s\dim N(\lambda_i I-A) dim∑i=1sN(λiI−A)=∑i=1sdimN(λiI−A)。
特征值与迹、行列式的关系
在复数域下，设n阶方阵 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)的全部特征值是 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n \lambda{}_1,\lambda{}_2,\cdots,\lambda{}_n λ1,λ2,⋯,λn。根据因式分解定理知特征多项式可以写成 d e t ( λ I − A ) = ( λ − λ 1 ) ( λ − λ 2 ) . . . ( λ − λ n ) det(\lambda I-A)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)...(\lambda-\lambda_n) det(λI−A)=(λ−λ1)(λ−λ2)...(λ−λn)，其n-1次项的系数为 − ( λ 1 + λ 2 + . . . + λ n ) = − t r ( A ) -(\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n)=-tr(A) −(λ1+λ2+...+λn)=−tr(A)，常数项为 ( − 1 ) n λ 1 λ 2 . . . λ n (-1)^n\lambda_1\lambda_2...\lambda_n (−1)nλ1λ2...λn。另一方面，从行列式的角度看 d e t ( λ I − A ) det(\lambda I-A) det(λI−A)的n-1次项系数为 − ( a 11 + a 22 + . . . + a n n ) = − t r ( A ) -(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})=-tr(A) −(a11+a22+...+ann)=−tr(A)，常数项（令 λ = 0 \lambda=0 λ=0即可得到）为 d e t ( − A ) = ( − 1 ) n d e t ( A ) det(-A)=(-1)^ndet(A) det(−A)=(−1)ndet(A)。因此有如下关系：
- d e t ( A ) = λ 1 λ 2 ⋯ λ n det(A)=\lambda{}_1\lambda{}_2\cdots\lambda{}_n det(A)=λ1λ2⋯λn
- t r ( A ) = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n tr(A)=\lambda{}_1+\lambda{}_2+\cdots+\lambda{}_n tr(A)=λ1+λ2+⋯+λn

特殊矩阵的特征值与特征向量

λ \lambda λ是对角矩阵A的特征值的充要条件为 λ \lambda λ在A的主对角线上，且A的每个特征值的代数重数等于其在主对角线上出现的次数
λ \lambda λ是上（下）三角矩阵A的特征值的充要条件为 λ \lambda λ在A的主对角线上，且A的每个特征值的代数重数等于其在主对角线上出现的次数
酋矩阵的特征值的模是1

证明：
设 U ∈ C n × n U\in C^{n\times n} U∈Cn×n是一个酋矩阵， λ \lambda λ是U的一个特征值， U x = λ x , x ≠ 0 Ux=\lambda x,x\neq 0 Ux=λx,x=0，则 ( U x ) H ( U x ) = ( λ x ) H ( λ x ) (Ux)^H(Ux)=(\lambda x)^H(\lambda x) (Ux)H(Ux)=(λx)H(λx)，即 x H U H U x = x H x = ∣ λ ∣ 2 x H x x^HU^HUx=x^Hx=|\lambda|^2x^Hx xHUHUx=xHx=∣λ∣2xHx，因为 x ≠ 0 x\neq 0 x=0所以 x H x = ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 2 > 0 x^Hx=||x||_2^2>0 xHx=∣∣x∣∣22>0，所以 ∣ λ ∣ 2 = 1 |\lambda|^2=1 ∣λ∣2=1，即 ∣ λ ∣ = 1 |\lambda|=1 ∣λ∣=1。
n阶对角矩阵 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n有n个线性无关的特征向量

证明：
设 A = d i a g ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) A=diag(a_1,a_2,...,a_n) A=diag(a1,a2,...,an)， I n = [ e 1 e 2 ⋯ e n ] I_n=\begin{bmatrix}e_1&e_2&\cdots&e_n\end{bmatrix} In=[e1e2⋯en]是 n n n阶单位矩阵。计算可得任意 i = 1 , 2 , . . . , n i=1,2,...,n i=1,2,...,n有 A e i = a i e i Ae_i=a_ie_i Aei=aiei，由于 e i ≠ 0 e_i\neq 0 ei=0，故 e i e_i ei是 A A A的特征向量。这就证明了单位矩阵 I n I_n In的列向量均为 A A A的特征向量，因为单位矩阵 I n I_n In的列向量组是线性无关的，所以A有n个线性无关的特征向量。
分块矩阵的特征值
设 A ∈ F m × m , B ∈ F n × n A\in F^{m\times m},B\in F^{n\times n} A∈Fm×m,B∈Fn×n， A A A的全部特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s λ1,λ2,⋯,λs， B B B的全部特征值为 λ s + 1 , λ s + 2 , ⋯ , λ s + t \lambda_{s+1},\lambda_{s+2},\cdots,\lambda_{s+t} λs+1,λs+2,⋯,λs+t，则分块矩阵 [ A ∗ O B ] \begin{bmatrix}A&*\\O&B\end{bmatrix} [AO∗B]和 [ A O ∗ B ] \begin{bmatrix}A&O\\*&B\end{bmatrix} [A∗OB]的全部特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s + t \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{s+t} λ1,λ2,⋯,λs+t。

证：（以 [ A ∗ O B ] \begin{bmatrix}A&*\\O&B\end{bmatrix} [AO∗B]为例）
根据拉普拉斯展开式计算上述分块矩阵的特征多项式： d e t ( λ I m + n − [ A ∗ O B ] ) = d e t [ λ I m − A ∗ O λ I n − B ] = d e t ( λ I m − A ) d e t ( λ I n − B ) det\left(\lambda I_{m+n}-\begin{bmatrix}A&*\\O&B\end{bmatrix}\right)=det\begin{bmatrix}\lambda I_m-A&*\\O&\lambda I_n-B\end{bmatrix}\\=det(\lambda I_m-A)det(\lambda I_n-B) det(λIm+n−[AO∗B])=det[λIm−AO∗λIn−B]=det(λIm−A)det(λIn−B)可见特征方程在域 F F F下的全部根为 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ s + t \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_{s+t} λ1,λ2,⋯,λs+t，证毕。

A , A T , A H A,A^T,A^H A,AT,AH的特征值的关系

只要找到 A , A T , A H A,A^T,A^H A,AT,AH的特征多项式的关系，就能得到下面两个结论，读者自证不难^_^。

σ ( A ) = σ ( A T ) \sigma(A)=\sigma(A^T) σ(A)=σ(AT)且 A A A与 A T A^T AT的同一特征值的代数重数相等
A A A与 A H A^H AH的特征值互为共轭且 A A A的特征值 λ \lambda λ的代数重数与 A H A^H AH的特征值 λ ˉ \bar\lambda λˉ的代数重数相等

A A H AA^H AAH和 A H A A^HA AHA的特征值的关系（注意 A A H AA^H AAH和 A H A A^HA AHA的阶数不一定相同）

A A H AA^H AAH和 A H A A^HA AHA的特征值均为非负实数

证明：
考虑特征方程 A A H x = λ x AA^Hx=\lambda{x} AAHx=λx，用 x H x^H xH左乘两端得 x H A A H x = ( A H x ) H ( A H x ) = λ x H x x^HAA^Hx=(A^Hx)^H(A^Hx)=\lambda{}x^Hx xHAAHx=(AHx)H(AHx)=λxHx，即 ∣ ∣ A H x ∣ ∣ 2 = λ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ||A^Hx||^2=\lambda{}||x||^2 ∣∣AHx∣∣2=λ∣∣x∣∣2，故 A A H AA^H AAH的特征值均为非负实数。同理可证 A H A A^HA AHA的特征值均为非负实数。
σ ( A H A ) − { 0 } = σ ( A A H ) − { 0 } \sigma (A^HA)-\{0\}=\sigma (AA^H)-\{0\} σ(AHA)−{0}=σ(AAH)−{0}（即 A A H AA^H AAH和 A H A A^HA AHA有相同的非零特征值）

证明：
考虑 A A H AA^H AAH的特征方程 A A H x = λ x , λ ≠ 0 , x ≠ 0 AA^Hx=\lambda{}x,\lambda{}\neq0,x\neq0 AAHx=λx,λ=0,x=0，设 y = A H x y=A^Hx y=AHx，由 ∣ ∣ A H x ∣ ∣ 2 = λ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 ||A^Hx||^2=\lambda{}||x||^2 ∣∣AHx∣∣2=λ∣∣x∣∣2知 ∣ ∣ A H x ∣ ∣ > 0 ||A^Hx||\gt0 ∣∣AHx∣∣>0，故 y ≠ 0 y\neq0 y=0。用 A H A^H AH左乘 A A H x = λ x AA^Hx=\lambda{x} AAHx=λx两端得 A H A y = λ y A^HAy=\lambda{y} AHAy=λy，可见 λ \lambda λ也是 A H A A^HA AHA的特征值。同理可证 A H A A^HA AHA的非零特征值都是 A A H AA^H AAH的特征值。得证。

【推广】设 A ∈ F m × n A\in F^{m\times n} A∈Fm×n, B ∈ F n × m B\in F^{n\times m} B∈Fn×m，则 σ ( A B ) − { 0 } = σ ( B A ) − { 0 } \sigma (AB)-\{0\}=\sigma (BA)-\{0\} σ(AB)−{0}=σ(BA)−{0}

证：
设 A B x = λ x ABx=\lambda x ABx=λx,其中 λ ≠ 0 , x ≠ 0 \lambda \neq 0,x\neq 0 λ=0,x=0，则有 B x ≠ 0 Bx\neq 0 Bx=0（若 B x = 0 Bx=0 Bx=0，则 λ x = A B x = 0 \lambda x=ABx=0 λx=ABx=0与 λ ≠ 0 , x ≠ 0 \lambda \neq 0,x\neq 0 λ=0,x=0矛盾）。用 B B B左乘式的两端，得 B ( A B x ) = B A ( B x ) = B ( λ x ) = λ ( B x ) B(ABx)=BA(Bx)=B(\lambda x)=\lambda (Bx) B(ABx)=BA(Bx)=B(λx)=λ(Bx)，故 λ \lambda λ是 B A BA BA的一个特征值。同理可证 B A BA BA的非零特征值都是 A B AB AB的特征值。
【注】实际上有更强的结论：不但 A B AB AB与 B A BA BA有相同的非零特征值，而且 A B AB AB与 B A BA BA的同一非零特征值的代数重数也是相等的，证明详见后文的Sylvester定理。
A A H AA^H AAH和 A H A A^HA AHA的同一个非零特征值的几何重数相等

证明：
该结论实际上可推广为 A B AB AB和 B A BA BA的同一非零特征值的几何重数相等，下面证明推广后的结论。

【推广】设 A ∈ F m × n A\in F^{m\times n} A∈Fm×n, B ∈ F n × m B\in F^{n\times m} B∈Fn×m，则 A B AB AB和 B A BA BA的同一非零特征值的几何重数相等

证：
设 λ \lambda{} λ是 A B AB AB和 B A BA BA的一个非零特征值， A B AB AB的特征子空间 N ( λ I − A B ) N(\lambda I-AB) N(λI−AB)的维数为 s s s。取 N ( λ I − A B ) N(\lambda I-AB) N(λI−AB)的一组基 x 1 , x 2 , ⋯ , x s x_1,x_2,\cdots,x_s x1,x2,⋯,xs，则易验证 B x 1 , B x 2 , ⋯ , B x s Bx_1,Bx_2,\cdots,Bx_s Bx1,Bx2,⋯,Bxs都是 B A BA BA关于 λ \lambda λ的特征向量，有 B x 1 , B x 2 , ⋯ , B x s ∈ N ( λ I − B A ) Bx_1,Bx_2,\cdots,Bx_s\in N(\lambda I-BA) Bx1,Bx2,⋯,Bxs∈N(λI−BA)。设 k 1 B x 1 + ⋯ + k s B x s = 0 k_1Bx_1+\cdots+k_sBx_s=0 k1Bx1+⋯+ksBxs=0，用 A A A左乘该式两端得 λ ( k 1 x 1 + ⋯ + k s x s ) = 0 \lambda{}(k_1x_1+\cdots+k_sx_s)=0 λ(k1x1+⋯+ksxs)=0，由于 λ ≠ 0 \lambda{}\neq0 λ=0，所以 k 1 x 1 + ⋯ + k s x s = 0 k_1x_1+\cdots+k_sx_s=0 k1x1+⋯+ksxs=0，由于 x 1 , x 2 , ⋯ , x s x_1,x_2,\cdots,x_s x1,x2,⋯,xs线性无关，故 k 1 = ⋯ = k s = 0 k_1=\cdots=k_s=0 k1=⋯=ks=0，故 B x 1 , B x 2 , ⋯ , B x s Bx_1,Bx_2,\cdots,Bx_s Bx1,Bx2,⋯,Bxs是线性无关的。这说明 dim ⁡ N ( λ I − B A ) ⩾ s = dim ⁡ N ( λ I − A B ) \dim N(\lambda I-BA)\geqslant s=\dim N(\lambda I-AB) dimN(λI−BA)⩾s=dimN(λI−AB)。同理可证 dim ⁡ N ( λ I − A B ) ⩾ dim ⁡ N ( λ I − B A ) \dim N(\lambda I-AB)\geqslant \dim N(\lambda I-BA) dimN(λI−AB)⩾dimN(λI−BA)。故 dim ⁡ N ( λ I − A B ) = dim ⁡ N ( λ I − B A ) \dim N(\lambda I-AB)=\dim N(\lambda I-BA) dimN(λI−AB)=dimN(λI−BA)，得证。
A A H AA^H AAH和 A H A A^HA AHA的同一个非零特征值的代数重数相等
证明：由后文Sylvester定理直接可得。

以上结论都限定在特征值非零的情况下，这是因为可能 A A H AA^H AAH和 A H A A^HA AHA两者中一个有零特征值，而另一个没有零特征值。例如，设A是 m × n m\times{n} m×n矩阵，当 m > n m>n m>n且A列满秩时，容易证明0一定是 A A H AA^H AAH的一个特征值，而一定不是 A H A A^HA AHA的一个特征值。

相似变换与相似对角化

相似矩阵及其性质

定义：设 F F F是一数域， A , B ∈ F n × n A, B\in F^{n\times n} A,B∈Fn×n，若存在可逆矩阵 P ∈ F n × n P\in F^{n\times n} P∈Fn×n使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P−1AP=B，则称 A A A和 B B B相似；如果 F = C F=C F=C且 P P P是一个酋矩阵，则称 A A A和 B B B酋相似

根据等价关系的定义，矩阵之间的相似关系是一种等价关系。相似关系给出了矩阵集的一个划分（相当于给矩阵做了个分类），属于同一个等价类的矩阵之间是两两相似的，属于不同等价类的矩阵之间不相似。

从线性变换的角度，相似关系实际上是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系（考虑线性空间上基 U U U到基 V V V的过渡矩阵 P P P， P P P是可逆的，线性变换 T T T在 U U U下的矩阵 A A A和在 V V V下的矩阵 B B B之间有关系 B = P − 1 A P B=P^{-1}AP B=P−1AP，这一点请读者自行证明）。如果两个矩阵相似，那么它们是同一个线性变换在两组不同基下的矩阵。也就是说，相似矩阵只是我们从不同的视角（基）去观察同一个线性变换得到的不同描述罢了，它们实际上对应的是同一个东西。

既然相似矩阵对应的是同一个线性变换，不难猜到这些矩阵之间会有一些共性。下面就是矩阵的一些相似不变量。

若n阶方阵A和B相似，则有以下结论：
- r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B)
- d e t ( A ) = d e t ( B ) det(A)=det(B) det(A)=det(B)
- t r ( A ) = t r ( B ) tr(A)=tr(B) tr(A)=tr(B)
- σ ( A ) = σ ( B ) \sigma(A)=\sigma(B) σ(A)=σ(B)
- A和B的同一特征值的代数重数相等
- A和B的同一特征值的几何重数相等
  
  第4、5条的证明：
  d e t ( λ I − B ) = d e t ( λ I − P − 1 A P ) = d e t ( P − 1 ( λ I − A ) P ) = d e t ( P − 1 ) d e t ( λ I − A ) d e t ( P ) = d e t ( λ I − A ) det(\lambda{I}-B)=det(\lambda{I}-P^{-1}AP)=det(P^{-1}(\lambda{I}-A)P)\\=det(P^{-1})det(\lambda{I}-A)det(P)=det(\lambda{I}-A) det(λI−B)=det(λI−P−1AP)=det(P−1(λI−A)P)=det(P−1)det(λI−A)det(P)=det(λI−A)即A和B的特征多项式相同，从而有 σ ( A ) = σ ( B ) \sigma(A)=\sigma(B) σ(A)=σ(B)以及代数重数相等的结论。
  
  第6条的证明：
  r ( λ I − B ) = r ( λ I − P − 1 A P ) = r ( P − 1 ( λ I − A ) P ) = r ( λ I − A ) r(\lambda{I}-B)=r(\lambda{I}-P^{-1}AP)\\=r(P^{-1}(\lambda{I}-A)P)=r(\lambda{I}-A) r(λI−B)=r(λI−P−1AP)=r(P−1(λI−A)P)=r(λI−A)故 ( λ I − A ) x = 0 (\lambda{I}-A)x=0 (λI−A)x=0和 ( λ I − B ) x = 0 (\lambda{I}-B)x=0 (λI−B)x=0的基础解系解向量个数相同（均为 n − r ( λ I − A ) n-r(\lambda{I}-A) n−r(λI−A)），从而 dim ⁡ N ( λ I − A ) = dim ⁡ N ( λ I − B ) \dim N(\lambda{I}-A)=\dim N(\lambda{I}-B) dimN(λI−A)=dimN(λI−B)，得证。

Sylvester定理（矩阵 A B AB AB与 B A BA BA的特征多项式之间的关系）

【注1】图中的证明其实不完整，证明的结尾只说明了特征值的关系，在一般的数域 F F F下这没法直接得到命题的结论（即行列式等式）（但在数域 C C C下是可以这么做的）。前面我们证明了相似矩阵的特征多项式相同，实际上用这一结论可以得到最终的行列式等式：
因为 [ B A O A O ] \begin{bmatrix}BA&O\\A&O\end{bmatrix} [BAAOO]与 [ O O A A B ] \begin{bmatrix}O&O\\A&AB\end{bmatrix} [OAOAB]相似，故 d e t ( λ I m + n − [ B A O A O ] ) = d e t ( λ I m + n − [ O O A A B ] ) det\left(\lambda I_{m+n}-\begin{bmatrix}BA&O\\A&O\end{bmatrix}\right)=det\left(\lambda I_{m+n}-\begin{bmatrix}O&O\\A&AB\end{bmatrix}\right) det(λIm+n−[BAAOO])=det(λIm+n−[OAOAB])，即 d e t [ λ I n − B A O − A λ I m ] = d e t [ λ I n O − A λ I m − A B ] det\begin{bmatrix}\lambda I_n-BA&O\\-A&\lambda I_m\end{bmatrix}=det\begin{bmatrix}\lambda I_n&O\\-A&\lambda I_m-AB\end{bmatrix} det[λIn−BA−AOλIm]=det[λIn−AOλIm−AB]，运用拉普拉斯展开式就有 λ m d e t ( λ I n − B A ) = λ n d e t ( λ I m − A B ) \lambda^mdet(\lambda I_n-BA)=\lambda^ndet(\lambda I_m-AB) λmdet(λIn−BA)=λndet(λIm−AB)。

【注2】等式 λ m d e t ( λ I n − B A ) = λ n d e t ( λ I m − A B ) \lambda^mdet(\lambda I_n-BA)=\lambda^ndet(\lambda I_m-AB) λmdet(λIn−BA)=λndet(λIm−AB)给出了 A B AB AB与 B A BA BA的特征多项式的关系，且蕴含了 A B AB AB与 B A BA BA的同一非零特征值的代数重数相等这一事实。注意该式不要求 m ⩾ n m\geqslant n m⩾n，对 m < n m\lt n m<n也是成立的。

【注3】证明中的分块矩阵恒等式可通过分块矩阵的初等变换构造而来，请读者自行思考。（分块矩阵的初等变换见矩阵论（零）：线性代数基础知识整理（1）——逆矩阵、初等变换、满秩分解）

相似对角化及其条件

定义：设 F F F为一数域，若 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n相似于一个对角矩阵 Σ ∈ F n × n \Sigma\in F^{n\times n} Σ∈Fn×n，则称 A A A可对角化

【注】需要区分对角化与酋对角化/正交相似对角化的区别：首先，酋对角化是在复数域下的，正交相似对角化是在实数域下的，而相似对角化是在任意一个数域下都有的概念。其次，一个矩阵可对角化是指它可相似对角化，酋对角化/正交相似对角化只是相似对角化的一种情形。一个矩阵可以相似对角化，不代表它可以酋对角化/正交相似对角化。（酋对角化实际上就是谱分解/特征值分解，具体可见矩阵论（二）：矩阵分解—从Schur分解、特征值分解EVD到奇异值分解SVD）

根据前面的讨论，对角化实际上就是找到线性空间的某组基，在这组基下线性变换的矩阵是一个对角阵，是用矩阵去描述线性变换时的最简形式。

定理：设 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n，则 A A A可对角化的充要条件为 A A A有 n n n个线性无关的特征向量

【注】定理的证明过程说明，可逆矩阵P的列向量组是A的n个线性无关的特征向量；P的列向量组的排列顺序和对角矩阵对角元（特征值）的排列顺序是相对应的。注意证明过程并没有指定特征值必须有什么顺序，就构造出了P。因此P的列向量的顺序是可以调整的，相应地对角矩阵对角线上的特征值的排列顺序随之调整。
定理：设 A ∈ C n × n A\in C^{n\times n} A∈Cn×n，则 A A A可对角化的充要条件为 A A A的每个特征值的几何重数等于代数重数

证：
注意方阵A可对角化的充要条件为 A A A有 n n n个线性无关的特征向量，而 A A A的每个特征值的几何重数不大于代数重数，注意复矩阵的不同的特征值的代数重数之和为n，显然只有 A A A的每个特征值的几何重数等于代数重数时， A A A才有 n n n个线性无关的特征向量。

【注】该结论对一般的数域并不成立。对一般的数域 F F F而言，还要加一个条件“ A A A的特征方程在域 F F F内恰好有n个根”，才能保证 A A A可对角化。
定理：设 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n， A A A有s个互不相同的特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ s ∈ F \lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_s\in F λ1,λ2,...,λs∈F，则 A A A可对角化的充要条件为 F n = ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) F^n=\oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A) Fn=⊕i=1sN(λiI−A)

证：
前面已经证明 A A A可对角化的充要条件是 A A A有n个线性无关的特征向量，所以我们只需要证明 A A A有n个线性无关的特征向量的充要条件为 F n = ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) F^n=\oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A) Fn=⊕i=1sN(λiI−A)。
必要性：若 A A A有n个线性无关的特征向量，设它们分别为 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，且相应的特征值为 μ 1 , μ 2 , . . . , μ n \mu_1,\mu_2,...,\mu_n μ1,μ2,...,μn，其中互不相同的特征值有 t ⩽ s t\leqslant s t⩽s个，分别为 λ i 1 , λ i 2 , . . . , λ i t \lambda_{i_1},\lambda_{i_2},...,\lambda_{i_t} λi1,λi2,...,λit。则 dim ⁡ ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) ⩾ dim ⁡ ⊕ j = 1 t N ( λ i j I − A ) ⩾ n \dim \oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A)\geqslant \dim \oplus_{j=1}^tN(\lambda_{i_j} I-A)\geqslant n dim⊕i=1sN(λiI−A)⩾dim⊕j=1tN(λijI−A)⩾n。又由 ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) ⊆ F n \oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A)\subseteq F^n ⊕i=1sN(λiI−A)⊆Fn可知 dim ⁡ ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) ⩽ dim ⁡ F n = n \dim \oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A)\leqslant \dim F^n=n dim⊕i=1sN(λiI−A)⩽dimFn=n，因此 dim ⁡ ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) = n \dim \oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A)=n dim⊕i=1sN(λiI−A)=n，因此 F n = ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) F^n=\oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A) Fn=⊕i=1sN(λiI−A)。
充分性：若 F n = ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) F^n=\oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A) Fn=⊕i=1sN(λiI−A)，则 dim ⁡ ⊕ i = 1 s N ( λ i I − A ) = dim ⁡ F n = n \dim \oplus_{i=1}^sN(\lambda_i I-A)=\dim F^n=n dim⊕i=1sN(λiI−A)=dimFn=n，分别取 N ( λ i I − A ) N(\lambda_i I-A) N(λiI−A)， i = 1 , 2 , . . . , s i=1,2,...,s i=1,2,...,s的基，将它们合在一起就是 A A A的n个线性无关的特征向量。

相似对角化的一个应用：求解斐波那契数列的通项

相似对角化给出了矩阵的一个分解式 A = P − 1 Λ P A=P^{-1}\Lambda P A=P−1ΛP，其中 Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)是对角矩阵。相似对角化的一个典型应用是简化矩阵的幂的计算。因为 A m = ( P − 1 Λ P ) m = P − 1 Λ m P A^m=(P^{-1}\Lambda P)^m=P^{-1}\Lambda^mP Am=(P−1ΛP)m=P−1ΛmP，所以 A A A的m次幂的计算就转化为了对角阵 Λ \Lambda Λ的m次幂的计算，而 Λ m = d i a g ( λ 1 m , λ 2 m , . . . , λ n m ) \Lambda^m=diag(\lambda_1^m,\lambda_2^m,...,\lambda_n^m) Λm=diag(λ1m,λ2m,...,λnm)，大大简化了计算。

下面举一个具体的例子体会一下：
斐波那契数列 a n {a_n} an定义为 a 1 = a 2 = 1 a_1=a_2=1 a1=a2=1且满足递推关系 a n = a n − 1 + a n − 2 a_n=a_{n-1}+a_{n-2} an=an−1+an−2。如何求斐波那契的通项呢？将递推关系式写成矩阵形式： [ a n a n − 1 ] = [ 1 1 1 0 ] [ a n − 1 a n − 2 ] = . . . = [ 1 1 1 0 ] n − 2 [ a 2 a 1 ] \begin{bmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{n-1}\\a_{n-2}\end{bmatrix}=...=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}^{n-2}\begin{bmatrix}a_2\\a_1\end{bmatrix} [anan−1]=[1110][an−1an−2]=...=[1110]n−2[a2a1]如果能够计算出 [ 1 1 1 0 ] n − 2 \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}^{n-2} [1110]n−2，就能得到通项公式。直接计算 [ 1 1 1 0 ] n − 2 \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}^{n-2} [1110]n−2很难归纳出每个元素的形式，我们可以利用相似对角化：
首先求 [ 1 1 1 0 ] \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix} [1110]的特征值 1 + 5 2 , 1 − 5 2 \frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2} 21+5 ,21−5 ，然后分别求这两个特征值对应的特征向量，得到 1 + 5 2 \frac{1+\sqrt{5}}{2} 21+5 对应的一个特征向量 [ 1 + 5 2 1 ] \begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\1\end{bmatrix} [21+5 1]， 1 − 5 2 \frac{1-\sqrt{5}}{2} 21−5 对应的一个特征向量 [ 1 − 5 2 1 ] \begin{bmatrix}\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1\end{bmatrix} [21−5 1]，于是有如下分解式： [ 1 1 1 0 ] = [ 1 + 5 2 1 − 5 2 1 1 ] [ 1 + 5 2 0 0 1 − 5 2 ] [ 1 + 5 2 1 − 5 2 1 1 ] − 1 \begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1&1\end{bmatrix}^{-1} [1110]=[21+5 121−5 1][21+5 0021−5 ][21+5 121−5 1]−1则 [ a n a n − 1 ] = [ 1 1 1 0 ] n − 2 [ a 2 a 1 ] = [ 1 + 5 2 1 − 5 2 1 1 ] [ 1 + 5 2 0 0 1 − 5 2 ] n − 2 [ 1 + 5 2 1 − 5 2 1 1 ] − 1 [ a 2 a 1 ] = [ 1 + 5 2 1 − 5 2 1 1 ] [ ( 1 + 5 2 ) n − 2 0 0 ( 1 − 5 2 ) n − 2 ] [ 1 + 5 2 1 − 5 2 1 1 ] − 1 [ 1 1 ] = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ( 1 + 5 2 ) n − 1 − ( 1 − 5 2 ) n − 1 ] \begin{aligned}\begin{bmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}^{n-2}\begin{bmatrix}a_2\\a_1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&0\\0&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{bmatrix}^{n-2}\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}a_2\\a_1\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2}&0\\0&(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\\&=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n\\(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-1}\end{bmatrix}\end{aligned} [anan−1]=[1110]n−2[a2a1]=[21+5 121−5 1][21+5 0021−5 ]n−2[21+5 121−5 1]−1[a2a1]=[21+5 121−5 1][(21+5 )n−200(21−5 )n−2][21+5 121−5 1]−1[11]=5 1[(21+5 )n−(21−5 )n(21+5 )n−1−(21−5 )n−1]故 a n = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n] an=5 1[(21+5 )n−(21−5 )n]。