实对称矩阵的特征值求法_【8】实（反）对称矩阵的特征值

先上一道题，来自xqh博客每周一题

设

为

阶实反对称矩阵，

为

阶实对称矩阵，证明：

均为非奇异阵

（亦即：

）

这道题有两种考虑方式

一是考虑证明直接矩阵满秩，二是转化为求解特征值（即证明

不是

的特征值）

下面按两种思路都给出证明

【证一：秩】

若不然，即

不满秩

设

因此

的行向量、列向量分别线性相关，即：

即

线性相关（行向量，列向量同理）

记：

为行向量，

为列向量，

代表所在的行/列数

注意到：

为标准基的第

个基向量

若

,取

考虑

这与标准基间线性无关矛盾

因此

行/列均满秩，即

为非奇异阵

【证二：特征值】

事实上，我们可以证明

的特征值均为纯虚数，

的特征值均为实数

下面证明

的特征值均为纯虚数，

可同理

若

两边同乘

的共轭转置向量，得：

两侧同取共轭转置，得：

由于

为实反对称矩阵，因此

代入，得：

与第一个式子相加，得：

不难验证

即

为纯虚数

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