本章开始介绍传输线理论。
传输线理论在基本电路理论和场分析之间架起了桥梁，在微波网络分析中有重要的意义。

往期整理：
笔记：
第一章：
0:介绍
1:麦克斯韦方程组
2:介质中的场
3:介质中的边界条件
4:波方程和基本平面波的解
5:平面波的通解；补充
6:电磁场能量(坡印廷定理)
7:分界面上电磁波的反射
8:互易定理与镜像理论
第二章：
9:传输线模型(本期)
例题：
第一次

文章目录

传输线"集总元件"电路模型
- 模型介绍
- 传输线方程（电报方程）
- 传输线上波的传播
- - 传输线的电压电流
  - 传输线的特征阻抗
  - 传输线时域解（电压波为例）
  - 传输线的波长和相速
- 无耗传输线
- 传输线的参量
- - 传输线单位长度自感
  - 传输线单位长度电容
  - 传输线单位长度电阻
  - 传输线单位长度电导

传输线"集总元件"电路模型

模型介绍

在0:介绍中已经说过了“长线效应”。电路理论和传输线理论的关键差别就是电尺寸。电路分析中假定网络的物理尺寸要比波长小得多，但传输线的尺寸可能只有波长的几分之一至几倍，导致整个长度内，电压和电流的相位、幅值都会发生显著变化。

如图，传输线经常用双线来表示，因为传输线的传播至少需要两根导体。
实际上，两根线一根为信号线，一根为返回线。信号在传输的时候，并不是先走信号线再走返回线，而是通过给单位等效电容充放电-电磁-电流-磁场，如此交替向前传播。（参考知乎文章）

图中，传输线上无穷小长度Δz\Delta zΔz的一段传输线可以模拟为下面一个集总元件电路。其中：

R：两导体单位长度间的串联电阻，Ω/m\Omega/mΩ/m，来源于两导体有限电导率产生的电阻
L：两导体单位长度间的串联电感，H/mH/mH/m，来源于两导体的总自感
G：两导体单位长度间的并联电导，S/mS/mS/m，来源于两导体间填充介质的介电损耗
C：两导体单位长度间的并联电容，F/mF/mF/m，来源于两导体的紧密贴近

而有限长度的传输线可以看成是多个图示集总元件电路的级联。

传输线方程（电报方程）

传输线中的电压电流关系可以用下图描述：

对于图中的电路，可以用基尔霍夫电压定律(KVL)给出：

v(z,t)−RΔzi(z,t)−LΔz∂i(z,t)∂t−v(z+Δz,t)=0(9.1)v(z,t)-R\Delta zi(z,t)-L\Delta z\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+\Delta z,t)=0\tag{9.1}v(z,t)−RΔzi(z,t)−LΔz∂t∂i(z,t)−v(z+Δz,t)=0(9.1)

式(9.1)的含义是：从zzz开始，取极小的一段传输线(zzz~z+Δzz+\Delta zz+Δz)。那么zzz处两根导体线之间的电势差（路径1），就等于zzz出发向右一段传输线上的电势差加上z+Δzz+\Delta zz+Δz处两根导线之间的电势差（路径2）。可以用下图来描述：

而由基尔霍夫电流定律(KCL)可以导出：

i(z,t)−GΔzv(z+Δz,t)−CΔz∂v(z+Δz,t)∂t−i(z+Δz,t)=0(9.2)i(z,t)-G\Delta zv(z+\Delta z,t)-C\Delta z\frac{\partial v(z+\Delta z,t)}{\partial t}-i(z+\Delta z,t)=0\tag{9.2}i(z,t)−GΔzv(z+Δz,t)−CΔz∂t∂v(z+Δz,t)−i(z+Δz,t)=0(9.2)

式(9.2)的含义是：从zzz开始，取极小的一段传输线(zzz~z+Δzz+\Delta zz+Δz)。那么流入zzz节点的电流(路径1)，被分流成了向下方传输线的电流(路径2)以及向右继续前进至z+Δzz+\Delta zz+Δz的电流(路径3)。可以用下图来描述：

对式(9.1)和(9.2)同除以Δz\Delta zΔz并求Δz→0\Delta z \rightarrow 0Δz→0时的极限，得以下微分方程：

∂v(z,t)∂z=−Ri(z,t)−L∂i(z,t)∂t(9.3a)\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-Ri(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}\tag{9.3a} ∂z∂v(z,t)=−Ri(z,t)−L∂t∂i(z,t)(9.3a)∂t(z,t)∂z=−Gv(z,t)−C∂v(z,t)∂t(9.3b)\frac{\partial t(z,t)}{\partial z}=-Gv(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}\tag{9.3b} ∂z∂t(z,t)=−Gv(z,t)−C∂t∂v(z,t)(9.3b)

这就是传输线方程(电报方程)的时域形式。

传输线方程和麦克斯韦方程一样，能够联系起电磁场的瞬时值、空间变化量、时间变化量。

对于简谐稳态条件，具有余弦形式的限量形式，式(9.3)可简化为：

dV(z)dz=−(R+jωL)I(z)(9.4a)\frac{d V(z)}{d z}=-(R+j\omega L)I(z)\tag{9.4a} dzdV(z)=−(R+jωL)I(z)(9.4a)dI(z)dz=−(G+jωC)V(z)(9.4b)\frac{d I(z)}{d z}=-(G+j\omega C)V(z)\tag{9.4b}dzdI(z)=−(G+jωC)V(z)(9.4b)

传输线上波的传播

传输线的电压电流

联立式(9.4)可以解出V(z),I(z)V(z),I(z)V(z),I(z)的波方程：

d2V(z)dz2−γ2V(z)=0(9.5a)\frac{d^2V(z)}{dz^2}-\gamma^2V(z)=0\tag{9.5a}dz2d2V(z)−γ2V(z)=0(9.5a)d2I(z)dz2−γ2I(z)=0(9.5b)\frac{d^2I(z)}{dz^2}-\gamma^2I(z)=0\tag{9.5b}dz2d2I(z)−γ2I(z)=0(9.5b)

γ\gammaγ是复传播常数，是频率的函数。满足:

γ=α+jβ=(R+jωL)(G+jωC)(9.6)\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\tag{9.6}γ=α+jβ=(R+jωL)(G+jωC)(9.6)

式(9.5)可以求出行波解为：

V(z)=V0+e−γz+V0−eγz(9.7a)V(z)=V_0^+e^{-\gamma z}+V_0^-e^{\gamma z}\tag{9.7a}V(z)=V0+e−γz+V0−eγz(9.7a)I(z)=I0+e−γz−I0+eγz(9.7b)I(z)=I_0^+e^{-\gamma z}-I_0^+e^{\gamma z}\tag{9.7b}I(z)=I0+e−γz−I0+eγz(9.7b)

若将式(9.4a)应用于式(9.7a)，替换掉电压，则可得电压电流的关系为：

V(z)=V0+e−γz+V0−eγz(9.7a)V(z)=V_0^+e^{-\gamma z}+V_0^-e^{\gamma z}\tag{9.7a}V(z)=V0+e−γz+V0−eγz(9.7a)I(z)=γR+jωL[V0+e−γz−V0−eγz](9.7c)I(z)=\frac{\gamma}{R+j\omega L}[V_0^+e^{-\gamma z}-V_0^-e^{\gamma z}]\tag{9.7c}I(z)=R+jωLγ[V0+e−γz−V0−eγz](9.7c)

传输线的特征阻抗

发现式(9.7)很接近于亥姆霍兹方程的通解形式。据此可以定义传输线上的“阻抗”为：

Z0=R+jωLγ=R+jωLG+jωC(9.8)Z_0=\frac{R+j\omega L}{\gamma}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}\tag{9.8}Z0=γR+jωL=G+jωCR+jωL(9.8)

注意，上述阻抗被称为“特征阻抗”或“特性阻抗”。其定义为：

在高频范围内，信号传输过程中，信号沿到达的地方，信号线和参考平面（电源或地平面）间由于电场的建立，会产生一个瞬间电流，如果传输线是各向同性的，那么只要信号在传输，就始终存在一个电流I，而如果信号的输出电平为V，在信号传输过程中，传输线就会等效成一个电阻，大小为V/I，把这个等效的电阻称为传输线的特性阻抗Z。

而波阻抗的定义是：

电磁波在理想传输媒介中传输时，其电场分量幅度与磁场分量幅度的比值。

一个是面向电压电流，一个是面向场。比如真空中的波阻抗一般定义为120π=377Ω120\pi = 377\Omega120π=377Ω，但是真空中的电磁波没有形成电压和电流，也就没有所谓的“真空的特性阻抗”了。

利用特征阻抗将传输线上的电压电流联系起来(即设V(z)=Z0I(z)V(z)=Z_0I(z)V(z)=Z0I(z))，有：

Z0=V0+I0+=−V0−I0−Z_0=\frac{V_0^+}{I_0^+}=-\frac{V_0^-}{I_0^-}Z0=I0+V0+=−I0−V0−

那么式(9.7c)也可以写成：

I(z)=V0+Z0e−γz−V0−Z0eγz(9.7d)I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{-\gamma z}-\frac{V_0^-}{Z_0}e^{\gamma z}\tag{9.7d}I(z)=Z0V0+e−γz−Z0V0−eγz(9.7d)

传输线时域解（电压波为例）

电压波形在时域上为：

v(z,t)=∣V0+∣cos(ωt−βz+ϕ+)e−αz+∣V0−∣cos(ωt−βz+ϕ−)eαzv(z,t)=|V_0^+|cos(\omega t-\beta z+\phi^+)e^{-\alpha z}+|V_0^-|cos(\omega t-\beta z+\phi^-)e^{\alpha z}v(z,t)=∣V0+∣cos(ωt−βz+ϕ+)e−αz+∣V0−∣cos(ωt−βz+ϕ−)eαz

其中ϕ±\phi^\pmϕ±代表相角

传输线的波长和相速

波长：λ=2πβ\lambda=\frac{2\pi}{\beta}λ=β2π
相速：vp=ωβ=λfv_p=\frac{\omega}{\beta}=\lambda fvp=βω=λf

无耗传输线

实际很多传输线的损耗很小，因此考虑无耗传输线模型：不考虑介电损耗(G=0G=0G=0)和电导率产生的电阻(R=0R=0R=0)。

传播常数：γ=α+jβ=jωLC\gamma=\alpha+j\beta=j\omega\sqrt{LC}γ=α+jβ=jωLC
传输系数：β=ωLC\beta=\omega\sqrt{LC}β=ωLC
衰减系数：α=0\alpha=0α=0
特征阻抗：Z0=LCZ_0=\sqrt{\frac{L}{C}}Z0=CL
波长：λ=2πβ=2πωLC\lambda=\frac{2\pi}{\beta}=\frac{2\pi}{\omega\sqrt{LC}}λ=β2π=ωLC2π
相速：vp=ωβ=1LCv_p=\frac{\omega}{\beta}=\frac{1}{\sqrt{LC}}vp=βω=LC1

并且可以求出一般解形式：

V(z)=V0+e−jβz+V0−ejβz(9.9a)V(z)=V_0^+e^{-j\beta z}+V_0^-e^{j\beta z}\tag{9.9a}V(z)=V0+e−jβz+V0−ejβz(9.9a)I(z)=V0+Z0e−jβz−V0−Z0ejβz(9.9b)I(z)=\frac{V_0^+}{Z_0}e^{-j\beta z}-\frac{V_0^-}{Z_0}e^{j\beta z}\tag{9.9b}I(z)=Z0V0+e−jβz−Z0V0−ejβz(9.9b)

传输线的参量

对于1m长的均匀传输线段（任意传输线），如图：

其中C1,C2C_1,C_2C1,C2代表内外分界面，SSS代表截面积。令导体间电压为V0e±jβzV_0e^{\pm j\beta z}V0e±jβz，电流为I0e±jβzI_0e^{\pm j\beta z}I0e±jβz。

传输线单位长度自感

可以得到1m传输线上的平均磁储能为：

Wm=μ4∫SH→⋅H→∗ds(9.10)W_m=\frac{\mu}{4}\int_S{\overrightarrow{H}\cdot\overrightarrow{H}^*}ds\tag{9.10}Wm=4μ∫SH⋅H∗ds(9.10)

结合电路理论中给出的磁能定义，用传输线上的电流和自感表示：

Wm=L∣I0∣24(9.11)W_m=\frac{L|I_0|^2}{4}\tag{9.11}Wm=4L∣I0∣2(9.11)

可以确定传输线单位长度的自感：

L=μ∣I0∣2∫SH→⋅H→∗ds(H/m)(9.12)L=\frac{\mu}{|I_0|^2}\int_S{\overrightarrow{H}\cdot\overrightarrow{H}^*}ds\;\;\;(H/m)\tag{9.12}L=∣I0∣2μ∫SH⋅H∗ds(H/m)(9.12)

传输线单位长度电容

类似地，首先用场方法来计算电储能：

We=ϵ4∫SE→⋅E→∗ds(9.13)W_e=\frac{\epsilon}{4}\int_S{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}^*}ds\tag{9.13}We=4ϵ∫SE⋅E∗ds(9.13)

接着套用电路理论中电储能的公式：

We=C∣V0∣24(9.14)W_e=\frac{C|V_0|^2}{4}\tag{9.14}We=4C∣V0∣2(9.14)

可以确定传输线单位长度电容：

C=ϵ∣V0∣2∫SE→⋅E→∗ds(F/m)(9.15)C=\frac{\epsilon}{|V_0|^2}\int_S{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}^*}ds\;\;\;(F/m)\tag{9.15}C=∣V0∣2ϵ∫SE⋅E∗ds(F/m)(9.15)

传输线单位长度电阻

由于金属导体有限电导率引起单位长度功率损耗(本来是在入射和极化那一章提到，但是没记，这边就会有点脱节)为：

Pc=Rs2∫C1+C2H→⋅H→∗dl(9.16)P_c=\frac{R_s}{2}\int_{C_1+C_2}\overrightarrow{H}\cdot\overrightarrow{H}^*dl\tag{9.16}Pc=2Rs∫C1+C2H⋅H∗dl(9.16)

这在电路理论中的公式是：

Pc=R∣I0∣22(9.17)P_c=\frac{R|I_0|^2}{2}\tag{9.17}Pc=2R∣I0∣2(9.17)

所以可确定传输线单位长度的电阻：

R=Rs∣I0∣2∫C1+C2H→⋅H→∗dlRs=1σδs(是导体表面电阻)(9.18)R=\frac{R_s}{|I_0|^2}\int_{C_1+C_2}\overrightarrow{H}\cdot\overrightarrow{H}^*dl\tag{9.18}\\\; \\ R_s=\frac{1}{\sigma\delta_s}(是导体表面电阻)R=∣I0∣2Rs∫C1+C2H⋅H∗dlRs=σδs1(是导体表面电阻)(9.18)

传输线单位长度电导

有耗电介质中单位长度耗散的时间平均功率(在电磁场能量一节中提到)为：

Pd=ωϵ′′2∫SE→⋅E→∗ds(9.19)P_d=\frac{\omega\epsilon^{''}}{2}\int_S{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}^*}ds\tag{9.19}Pd=2ωϵ′′∫SE⋅E∗ds(9.19)

电路理论中的公式为：

Pd=G∣V0∣22(9.20)P_d=\frac{G|V_0|^2}{2}\tag{9.20}Pd=2G∣V0∣2(9.20)

因此可确定传输线单位长度的电导为：

G=ωϵ′′∣V0∣2∫SE→⋅E→∗ds(9.21)G=\frac{\omega\epsilon^{''}}{|V_0|^2}\int_S{\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}^*}ds\tag{9.21}G=∣V0∣2ωϵ′′∫SE⋅E∗ds(9.21)

原本还将讨论由场分析得到同轴线的电报方程（之前是由电路理论推出双导线的电报方程），但是太复杂，也是先放着，回头再来补充。

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