上一节中讨论了平面波的一些特征，本节将从更一般的观点出发，再次考察平面波，而且用分离变量法来求解波动方程。
还将讨论圆极化平面波，对于铁氧体（以氧化铁和其他铁族或稀土族氧化物为主要成分的复合氧化物，多属半导体，电阻率远大于一般金属磁性材料）的讨论是很重要的。

分离变量法处理电场 E → \overrightarrow{E} E 的亥姆霍兹方程

真空中，电场亥姆霍兹方程可以打开来写成：

▽ 2 E → + k 0 2 E → = ∂ 2 E → ∂ x 2 + ∂ 2 E → ∂ y 2 + ∂ 2 E → ∂ z 2 + k 0 2 E → = 0 (5.1) \triangledown ^2\overrightarrow{E}+k_0^2\overrightarrow{E}= \frac{\partial ^2\overrightarrow{E}}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2\overrightarrow{E}}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2\overrightarrow{E}}{\partial z^2}+k_0^2\overrightarrow{E}=0 \tag{5.1} ▽2E +k02E =∂x2∂2E +∂y2∂2E +∂z2∂2E +k02E =0(5.1)

这个矢量波方程对于每个 E → \overrightarrow{E} E 的每个直角分两都正确（也即可以将电场矢量拆分成x，y，z三个轴向分量）：

∂ 2 E i → ∂ x 2 + ∂ 2 E i → ∂ y 2 + ∂ 2 E i → ∂ z 2 + k 0 2 E i → = 0 (5.2) \frac{\partial ^2\overrightarrow{E_i}}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2\overrightarrow{E_i}}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2\overrightarrow{E_i}}{\partial z^2}+k_0^2\overrightarrow{E_i}=0 \tag{5.2} ∂x2∂2Ei +∂y2∂2Ei +∂z2∂2Ei +k02Ei =0(5.2)
，上面 i=x，y，z

使用分离变量法来求解这个方程。这个方法的核心是认为方程的解（下面都以 E x E_x Ex为例）可以写成三个函数的乘积，并且每个函数分别与且只与三个坐标中的一个有关：

E x ( x , y , z ) = f ( x ) ⋅ g ( y ) ⋅ h ( z ) (5.3) E_x(x,y,z)=f(x)\cdot g(y)\cdot h(z)\tag{5.3} Ex(x,y,z)=f(x)⋅g(y)⋅h(z)(5.3)

把这种解形式带入式（5.2），再同除fgh，得到：

f ′ ′ f + g ′ ′ g + h ′ ′ h + k 0 2 = 0 (5.4) \frac{f^{''}}{f}+\frac{g^{''}}{g}+\frac{h^{''}}{h}+k_0^{2}=0\tag{5.4} ff′′+gg′′+hh′′+k02=0(5.4)

由于fgh三个函数彼此独立，也和 k 0 k_0 k0彼此独立，所以只能使（5.4）的每一项都等于常量。可以这么理解： f ′ ′ f \frac{f^{''}}{f} ff′′仅为 x x x的函数，而余下的数都与 x x x无关，那么，为使等式随 x x x变化恒成立，就只能使 f ′ ′ f \frac{f^{''}}{f} ff′′为一个常量，否则等式将不恒成立。

因此，可以假设：

f ′ ′ f = − k x 2 g ′ ′ g = − k y 2 h ′ ′ h = − k z 2 \frac{f^{''}}{f}=-k_x^{2} \;\;\;\;\;\; \frac{g^{''}}{g}=-k_y^{2}\; \;\;\;\;\; \frac{h^{''}}{h}=-k_z^{2} ff′′=−kx2gg′′=−ky2hh′′=−kz2

或

∂ 2 f ∂ x 2 + k x 2 ⋅ f = 0 ∂ 2 g ∂ y 2 + k y 2 ⋅ f = 0 ∂ 2 h ∂ z 2 + k z 2 ⋅ f = 0 (5.5) \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+k^{2}_x\cdot f=0 \;\;\;\;\;\; \frac{\partial^{2}g}{\partial y^{2}}+k^{2}_y\cdot f=0 \;\;\;\;\;\;\frac{\partial^{2}h}{\partial z^{2}}+k^{2}_z\cdot f=0\tag{5.5} ∂x2∂2f+kx2⋅f=0∂y2∂2g+ky2⋅f=0∂z2∂2h+kz2⋅f=0(5.5)

联立（5.4）和（5.5）可以得到：

k x 2 + k y 2 + k z 2 = k 0 2 (5.6) k^{2}_x+k^{2}_y+k^{2}_z=k^{2}_0\tag{5.6} kx2+ky2+kz2=k02(5.6)

做到这里可以发现，偏微分方程（5.2）已经简化成了三个独立的常微分方程（5.5），而这三个常微分方程的解形式分别为： e ± j k x x , e ± j k y y , e ± j k z z e^{\pm jk_x x},\; e^{\pm jk_y y},\; e^{\pm jk_z z} e±jkxx,e±jkyy,e±jkzz，其中指数带"-“号代表波沿正轴( + x , + y , + z +x,+y,+z +x,+y,+z)传播，”+"号则沿负轴传播。

两个解都是可能且合理的，这些项是否存在依赖于场的源。

那么，我们单独分析沿每个方向正向传播( + x , + y , + z +x,+y,+z +x,+y,+z)的波构成的平面波：

E x ( x , y , z ) = A ⋅ e − j ( k x x + k y y + k z z ) (5.7) E_x(x,y,z)=A \cdot e^{-j(k_x x+k_y y+k_z z)}\tag{5.7} Ex(x,y,z)=A⋅e−j(kxx+kyy+kzz)(5.7)
，其中A代表任意振幅常数

我们可以定义波矢量：

k → = k x x ^ + k y y ^ + k z z ^ = k 0 n ^ (5.8) \overrightarrow{k}=k_x \widehat{x}+k_y \widehat{y}+k_z \widehat{z}=k_0 \widehat{n}\tag{5.8} k =kxx +kyy +kzz =k0n (5.8)

根据（5.6）的条件 —— k → \overrightarrow{k} k 的模= k 0 k_0 k0，并且 n ^ \widehat{n} n 是传输方向上的单位矢量。定义位置矢量：

r → = x x ^ + y y ^ + z z ^ (5.9) \overrightarrow{r}=x \widehat{x}+y \widehat{y}+z \widehat{z}\tag{5.9} r =xx +yy +zz (5.9)

（5.8）和（5.9）代入（5.7），可以写成：

E x ( x , y , z ) = A ⋅ e − j k → ⋅ r → (5.10.1) E_x(x,y,z)=A \cdot e^{-j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\tag{5.10.1} Ex(x,y,z)=A⋅e−jk ⋅r (5.10.1)
扩展至y，z方向的电场，则有：
E y ( x , y , z ) = B ⋅ e − j k → ⋅ r → (5.10.2) E_y(x,y,z)=B \cdot e^{-j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\tag{5.10.2} Ey(x,y,z)=B⋅e−jk ⋅r (5.10.2)
E z ( x , y , z ) = C ⋅ e − j k → ⋅ r → (5.10.3) E_z(x,y,z)=C \cdot e^{-j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\tag{5.10.3} Ez(x,y,z)=C⋅e−jk ⋅r (5.10.3)
他们只有振幅常数是不同的，解形式是相同的。

平面波的传播是无源的，所以应该满足散度为零的公式：

▽ ⋅ E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z = 0 (5.11) \triangledown \cdot \overrightarrow{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=0\tag{5.11} ▽⋅E =∂x∂Ex+∂y∂Ey+∂z∂Ez=0(5.11)

这可以理解成，再某些方向有变化则会在其他方向出现相反的变化。
这个条件就对三个振幅常数 A , B , C A,B,C A,B,C做出了限制，因为如果：

E 0 → = A x ^ + B y ^ + C z ^ E → = E 0 → ⋅ e j k → ⋅ r → \overrightarrow{E_0}=A\widehat{x}+B\widehat{y}+C\widehat{z} \\ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_0} \cdot e^{j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}} E0 =Ax +By +Cz E =E0 ⋅ejk ⋅r

并且

▽ ⋅ E 0 → = ▽ ⋅ ( E 0 → ⋅ e j k → ⋅ r → ) = E 0 → ⋅ ▽ e j k → ⋅ r → = − j k → ⋅ E 0 → ⋅ e j k → ⋅ r → = 0 (5.12) \triangledown \cdot \overrightarrow{E_0}=\triangledown \cdot (\overrightarrow{E_0} \cdot e^{j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}})=\overrightarrow{E_0} \cdot \triangledown e^{j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}=-j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{E_0}\cdot e^{j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}=0\tag{5.12} ▽⋅E0 =▽⋅(E0 ⋅ejk ⋅r )=E0 ⋅▽ejk ⋅r =−jk ⋅E0 ⋅ejk ⋅r =0(5.12)

所以就必须有：

k → ⋅ E 0 → = 0 (5.13) \overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{E_0}=0\tag{5.13} k ⋅E0 =0(5.13)

这表明了，电场振幅矢量 E 0 → \overrightarrow{E_0} E0 必须垂直于传播方向 k → \overrightarrow{k} k 。这个条件也是平面波的普通结果（也吻合上一节得到的，平面波是TEM波的结论）。

磁场 H → \overrightarrow{H} H 的亥姆霍兹方程

磁场的亥姆霍兹方程可以用麦克斯韦方程（无源形式）直接求出。
根据：

▽ × E → = − j ω μ 0 H → (5.14) \triangledown \times\overrightarrow{E} = -j\omega \mu_0 \overrightarrow{H}\tag{5.14} ▽×E =−jωμ0H (5.14)

省略过程，最后的形式是：

H → = 1 η 0 n ^ × E → (5.15) \overrightarrow{H}=\frac{1}{\eta_0}\widehat{n}\times\overrightarrow{E}\tag{5.15} H =η01n ×E (5.15)

其中， η 0 = μ 0 ϵ 0 = 377 Ω = 120 π Ω \eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}=377\Omega=120\pi\Omega η0=ϵ0μ0 =377Ω=120πΩ，是真空下的本征阻抗。

电场 E → \overrightarrow{E} E 的时域表达式

电场的时域表达式：

E → ( x , y , z , t ) = R e { E → ( x , y , z ) ⋅ e j ω t } = R e { E 0 → ⋅ e j k → ⋅ r → ⋅ e j ω t } = E 0 → ⋅ c o s ( k → ⋅ r → − ω t ) (5.16) \begin{aligned} \overrightarrow{\mathcal{E}}(x,y,z,t) &= Re\{\overrightarrow{E}(x,y,z)\cdot e^{j\omega t} \} \\ &= Re\{\overrightarrow{E_0}\cdot e^{j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\cdot e^{j\omega t} \}\\ &= \overrightarrow{E_0}\cdot cos(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t) \tag{5.16}\end{aligned} E (x,y,z,t)=Re{E (x,y,z)⋅ejωt}=Re{E0 ⋅ejk ⋅r ⋅ejωt}=E0 ⋅cos(k ⋅r −ωt)(5.16)

上式假定 E 0 → \overrightarrow{E_0} E0 中包含的振幅 A , B , C A,B,C A,B,C为实数。若并不是实数，那么它们的相位应当包含在式（5.16）中的余弦项 c o s ( k → ⋅ r → − ω t ) cos(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t) cos(k ⋅r −ωt)中。

圆极化平面波

一般地，平面波的极化方向以电场矢量的方向为基准。线极化（linearly polarized）是指电场矢量的矢端所运动过的轨迹是一条直线。本节之前描述的平面波，电场矢量均指向一个固定的方向，就是线极化。

平面波的极化方向可能在一个固定的方向，也可能随时间变化。

如果一个振幅为 E 1 E_1 E1的，沿 x ^ \widehat{x} x 方向振动的线极化波与另一个振幅为 E 2 E_2 E2的，沿 y ^ \widehat{y} y 方向振动的线极化波（两个线极化波都向 z ^ \widehat{z} z 传播）叠加，则总电场可写为：

E → = ( E 1 x ^ + E 2 y ^ ⋅ e − j k 0 z ) (5.17) \overrightarrow{E}=(E_1\widehat{x}+E_2\widehat{y}\cdot e^{-jk_0 z})\tag{5.17} E =(E1x +E2y ⋅e−jk0z)(5.17)

现在，产生了许多的可能性：

E 1 ≠ 0 ， E 2 = 0 o r E 1 = 0 ， E 2 ≠ 0 E_1\neq0，E_2=0 \;\;\;or\;\;\; E_1=0，E_2\neq0 E1=0，E2=0orE1=0，E2=0
E 1 ≠ 0 ， E 2 ≠ 0 E_1\neq0，E_2\neq0 E1=0，E2=0 并且 E 1 , E 2 E_1,E_2 E1,E2 均为实数
E 1 ≠ 0 ， E 2 ≠ 0 E_1\neq0，E_2\neq0 E1=0，E2=0 并且 E 1 , E 2 E_1,E_2 E1,E2 相位差为 90 ° 90\degree 90°（如 E 1 = j E 2 = E 0 E_1=jE_2=E_0 E1=jE2=E0）
E 1 ≠ 0 ， E 2 ≠ 0 E_1\neq0，E_2\neq0 E1=0，E2=0 并且 E 1 , E 2 E_1,E_2 E1,E2 相位差为任意、数值大小为任意

对于情况1，此时，只存在一个线极化波，则总电场波就是线极化波。

对于情况2，此时，两个波振幅都不为零，可以定义一个极化方向角：

ϕ = arctan ⁡ E 2 E 1 (5.18) \phi =\arctan{\frac{E_2}{E_1}}\tag{5.18} ϕ=arctanE1E2(5.18)

例如：如果 E 1 = E 2 E_1=E_2 E1=E2，则极化方向角 ϕ = 45 ° \phi=45\degree ϕ=45°，也就是合成矢量和 + x +x +x轴夹角为 45 ° 45\degree 45°。

对于情况3，电场实际上随时间沿着原点在 x O y xOy xOy平面上进行着椭圆运动。可以这样分析得出：

E → ( z , t ) = E 0 { x ^ c o s ( ω t − k 0 z ) + y ^ c o s ( ω t − k 0 z − π 2 ) } = E → ( z , t ) { x ^ c o s ( ω t − k 0 z ) + y ^ s i n ( ω t − k 0 z ) } (5.19) \begin{aligned} \overrightarrow{E}(z,t)&=E_0\{\widehat{x}cos(\omega t-k_0 z)+\widehat{y}cos(\omega t-k_0 z-\frac{\pi}{2})\}\\ &= \overrightarrow{E}(z,t)\{ \widehat{x}cos(\omega t-k_0 z)+\widehat{y}sin(\omega t-k_0 z)\} \tag{5.19} \end{aligned} E (z,t)=E0{x cos(ωt−k0z)+y cos(ωt−k0z−2π)}=E (z,t){x cos(ωt−k0z)+y sin(ωt−k0z)}(5.19)

读者一定明白 c o s ( x ) + s i n ( x ) cos(x)+sin(x) cos(x)+sin(x)随 x x x变化的的函数图形，会形成一个圆形。而这就是圆极化的条件。此时，极化方向角为：

ϕ = arctan ⁡ E 2 E 1 = arctan ⁡ c o s ( ω t ) s i n ( ω t ) = ω t (5.20) \phi =\arctan{\frac{E_2}{E_1}}=\arctan{\frac{cos(\omega t)}{sin(\omega t)}}=\omega t\tag{5.20} ϕ=arctanE1E2=arctansin(ωt)cos(ωt)=ωt(5.20)

会随着时间的变化，以角速度 ω \omega ω匀速变化。

特别地，如果当右手大拇指指向传播方向，而旋转方向正好与其余四指围绕时指尖的方向吻合，则这种圆极化波称为“右旋圆极化（RHCP, right hand circularly polarized）”。如果用相位来描述，就是 x x x方向的电场超前 y y y方向的电场 90 ° 90\degree 90°相位。

对于情况4，其实涵盖了情况3，是一种普遍形式，电场的矢端轨迹形成了椭圆形，所以被称为“椭圆极化波”。这并不是重点。

强调：时域和复数形式波的关系和转换

A → ( x , y , z , t ) = R e { A → ( x , y , z ) ⋅ e j ω t } = R e { A 0 → ⋅ e j k → ⋅ r → ⋅ e j ω t } = A 0 → ⋅ c o s ( k → ⋅ r → − ω t ) \begin{aligned} \overrightarrow{\mathcal{A}}(x,y,z,t) &= Re\{\overrightarrow{A}(x,y,z)\cdot e^{j\omega t} \} \\ &= Re\{\overrightarrow{A_0}\cdot e^{j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}}\cdot e^{j\omega t} \}\\ &= \overrightarrow{A_0}\cdot cos(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}-\omega t) \end{aligned} A (x,y,z,t)=Re{A (x,y,z)⋅ejωt}=Re{A0 ⋅ejk ⋅r ⋅ejωt}=A0 ⋅cos(k ⋅r −ωt)

A → ( x , y , z , t ) \overrightarrow{\mathcal{A}}(x,y,z,t) A (x,y,z,t) 代表时域的波，不仅包含了空间关系，也包含了时间关系；
e j k → ⋅ r → e^{j\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r}} ejk ⋅r 空间因子，代表波的空间变化性；
e j ω t e^{j\omega t} ejωt 时间因子，代表波的时间变化性；
A 0 → \overrightarrow{A_0} A0 代表波的振幅是恒定的，没有随着空间、时间变化；
A → ( x , y , z ) ⋅ e j ω t \overrightarrow{A}(x,y,z)\cdot e^{j\omega t} A (x,y,z)⋅ejωt 代表波的复振幅，通常用 A → ˙ \dot{\overrightarrow{A}} A ˙（头上带点）来表示，是为了简化表示和计算引入的；

时域（完全表示形式）的波就是将复数形式的波添加（乘）时间因子后取实部，打个比方就是把一条直线从一维轴上放入二维平面上，使之随时间在模不变（或模变化规律不变）的情况下旋转，提取实部（投影在x轴上的模）来表示。

（感觉说的有点难以理解？）

补充：容易混淆的“传播方向”和“振动方向”

很多初学者可能会疑惑：为什么平面波沿 z z z轴传播，但是电场沿 x x x方向，磁场沿 y y y方向呢？

举个例子：
长绳放在地上，举起一端一甩，可以看到一个小峰从这一端开始朝另一端前进。那么此时，小峰的鼓起方向（竖直于地面）就是振动方向；小峰前进的路线（水平于地面）就是传播方向。

波是振动的传播。如果是一颗弹球在高处落下，不考虑风、落点的斜度等等因素，它就会在原地振动，这样就不会形成波。

同时 x , y , z x, y, z x,y,z三个方向分别是电场、磁场、波的振动/传播方向，也是符合叉乘顺序的，就很好记。

好了就写到这里，第一次用 Markdown，写了好久（悲

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