Smith圆图是一种辅助图形，在求解传输线问题时非常有用。
除了Smith圆图，其实还有其他的阻抗和反射系数圆图，但Smith圆图的应用最为广泛。
Smith圆图将 无限（0−∞0-\infty0−∞） 的情况，通过归一化，集成在了一张有限圆图内，同时也将许多传输线的现象形象化，非常有助于学习以至未来的使用。

往期整理：
笔记：
第一章：电磁理论
0:介绍
1:麦克斯韦方程组
2:介质中的场
3:介质中的边界条件
4:波方程和基本平面波的解
5:平面波的通解；补充
6:电磁场能量(坡印廷定理)
7:分界面上电磁波的反射(未实现)
8:互易定理与镜像理论
第二章：传输线理论
9:传输线模型
10:终端接负载的无耗传输线
11:Smith圆图(腰斩)(本期)
例题：
第一次

文章目录

Smith圆图实例
Smith圆图形成思想
- 反射系数Γ\GammaΓ为基底
- 消去特征参数Z0Z_0Z0
- 把βββ归于ΓΓΓ的相位
- Smith圆图的一种使用方式
电阻圆、电抗圆

Smith圆图实例

（如果不加了解，这就是非常抽象的一张图。）

Smith圆图形成思想

其实，Smith圆图基本就是一个电压反射系数Γ\GammaΓ的极坐标图。

它要能够概括这么多的东西：

Γ(z′)=Γle−j2βz′Z(z′)=Z0Zl+jZ0tan(βz′)Z0+jZltan(βz′)ρ=SWR=1+∣Γ(z′)∣1−∣Γ(z′)∣=1+∣Γl∣1−∣Γl∣\begin{aligned} &\Gamma(z^{'})=\Gamma_le^{-j2\beta z^{'}} \\ &Z(z^{'})=Z_0\frac{Z_l+jZ_0tan(\beta z^{'})}{Z_0+jZ_ltan(\beta z^{'})} \\ &\rho=SWR=\frac{1+|\Gamma(z^{'})|}{1-|\Gamma(z^{'})|}=\frac{1+|\Gamma_l|}{1-|\Gamma_l|} \end{aligned} Γ(z′)=Γle−j2βz′Z(z′)=Z0Z0+jZltan(βz′)Zl+jZ0tan(βz′)ρ=SWR=1−∣Γ(z′)∣1+∣Γ(z′)∣=1−∣Γl∣1+∣Γl∣

只需要基础的信息：

Z0,Zl,βZ_0,Z_l,\betaZ0,Zl,β

就可以在图中找到各个传输线参数。

Smith圆图的核心思想是：消去特征参数Z0Z0Z0，把βββ归于ΓΓΓ的相位，工作参数ΓΓΓ为基地，套覆Z‾(z′)\overline{Z}(z^{'})Z(z′)和ρρρ。

反射系数Γ\GammaΓ为基底

如果想要把传输线问题归于一个有限的图形，我们首先需要一个合适的基底，这个基底需要拥有坐标系类似地功能，所有传输线的参数都可以通过它来表征。好的备选方案就是上一节中所提及的传输线几大工作参数了：

阻抗 ZZZ
反射系数 Γ\GammaΓ
驻波比 SWRSWRSWR

其中，阻抗变换公式有分式相除的形式，比较复杂。虽然阻抗具有四分之一变换性和二分之一周期性，但作为参考量还是比较不妥。

驻波比则是系统不变量，对于确定的传输线和负载，驻波比是定实数，无法反映传输线位置等参数的变化。

但是反射系数的特点：Γ(z′)=Γle−j2βz′=∣Γl∣ej(ϕ−2βz′)\Gamma(z^{'})=\Gamma_le^{-j2\beta z^{'}}=|\Gamma_l|e^{j(\phi-2\beta z^{'})}Γ(z′)=Γle−j2βz′=∣Γl∣ej(ϕ−2βz′)就非常好。好在哪里？我来解释：
我们在学习复变函数的时候知道，ejϕe^{j\phi}ejϕ的形式可以理解成“旋转因子”，它的模始终是1，其内的ϕ\phiϕ可以理解成单位矢量对参考轴的夹角。而Γ\GammaΓ就可以理解成旋转矢量的模值。两者结合，∣Γl∣ej(ϕ−2βz′)|\Gamma_l|e^{j(\phi-2\beta z^{'})}∣Γl∣ej(ϕ−2βz′)随着离开传输线负载端的距离z′z^{'}z′变化的轨迹就是一个以原点OOO为圆心，半径为Γl\Gamma_lΓl的圆形。

考虑到0≤∣Γ∣≤10\leq|\Gamma|\leq10≤∣Γ∣≤1，所以任何无源可实现的反射系数，都可以在一个半径为1的圆形内实现。这就为辅助图的有限性提供了可能。

圆图放在类似于xoyxoyxoy坐标系的ΓΓΓ坐标系中，原先的xxx轴现在是ΓrΓ_rΓr轴，代表实部；原先的yyy轴现在是ΓiΓ_iΓi轴，代表虚部。

消去特征参数Z0Z_0Z0

决定驻波比 SWRSWRSWR 和反射系数模值 ∣Γ∣|\Gamma|∣Γ∣ （或者终端反射系数）的，是传输线特征阻抗 Z0Z_0Z0和负载的阻抗 ZlZ_lZl。当两个量确定以后，才能确定其他量（当然对于无耗传输线还有传输系数 β\betaβ）。

但是如果两个量确定以后才能做出一张图（甚至因为β\betaβ需要确定三个量），那就太麻烦了。

所以就想出了“归一化（Normalizing）”的方法：

Z‾(z′)=Z(z′)Z0\overline{Z}(z^{'})=\frac{Z(z^{'})}{Z_0}Z(z′)=Z0Z(z′)

我们可以将传输线特征阻抗独立出来。这样，反射系数就可以这样表示：

Γ(z′)=Z(z′)−Z0Z(z′)+Z0=Z‾(z′)−1Z‾(z′)+1\Gamma(z^{'})=\frac{Z(z^{'})-Z_0}{Z(z^{'})+Z_0}=\frac{\overline{Z}(z^{'})-1}{\overline{Z}(z^{'})+1}Γ(z′)=Z(z′)+Z0Z(z′)−Z0=Z(z′)+1Z(z′)−1

因为传输线的核心是反射，而反射的核心就是阻抗关系，这一关系是比值关系，所以满足相同阻抗比（相同的归一化负载阻抗）的传输线系统，他们的驻波比、传输系数模值、终端反射系数是一样的！

把βββ归于ΓΓΓ的相位

最后还剩下传输系数β\betaβ。

传输线的位置不使用距离远端的实际距离z′z^{'}z′来表示了，而是使用电角度θ=βz′\theta=\beta z^{'}θ=βz′。

电角度就是ΓΓΓ相位的组成部分，它通过传输线的实际长度z′z^{'}z′和传输系数β\betaβ建立了联系。

Smith圆图的一种使用方式

说明一下上面解释的可行性。因为这是我自己的体悟，不是官方解释，而且我也不能保证读者能听明白，所以在这里演示一下：

已知Z0Z_0Z0和ZlZ_lZl后，通过归一化负载阻抗确定了终端反射系数Γl\Gamma_lΓl，就可以在单位圆图中找出对应的点，包括了半径和相位，在圆图中可以分解成实部和虚部。
如果要找坐标在z′z^{'}z′点的反射系数。首先通过传输系数计算出电角度，正的电角度在公式Γ(z′)=∣Γl∣ej(ϕ−2βz′)\Gamma(z^{'})=|\Gamma_l|e^{j(\phi-2\beta z^{'})}Γ(z′)=∣Γl∣ej(ϕ−2βz′)中会导致顺时针旋转（口诀：源顺负逆，朝源靠近顺时针，朝夫在靠近逆时针），旋转的角度是两倍电角度。
圆图中这个新的点就是传输线z′z^{'}z′点的反射系数了。

唉，感觉写着写着自己破防了：

图不好做说起来麻烦;

Smith圆图这块要说自己的心得那实在是有点难写，才写完基本构成，发现还有比如阻抗导纳公式和圆的位置及变化、纯电阻线、纯电抗圆、匹配圆、阻抗圆图上半圆感性下班圆容性、以及匹配等等，唉，有点多，有点惰；

这个也影响到了自己的读书速度，而且有时候自己明白了，还想着怎么再讲得简单易懂一些，又担心错误解读、过度解读导致曲解或者表错意。

Smith圆图这块是真有点不想记了。。。要不就这样吧

电阻圆、电抗圆

利用前面的归一化思想，可以写出负载反射系数：

Γl=Zl‾−1Zl‾+1=∣Γ∣ejθ\Gamma_l=\frac{\overline{Z_l}-1}{\overline{Z_l}+1}=|\Gamma|e^{j\theta}Γl=Zl+1Zl−1=∣Γ∣ejθ

反推出归一化负载阻抗用反射系数表示的公式：

Zl‾=1+∣Γ∣ejθ1−∣Γ∣ejθ\overline{Z_l}=\frac{1+|\Gamma|e^{j\theta}}{1-|\Gamma|e^{j\theta}}Zl=1−∣Γ∣ejθ1+∣Γ∣ejθ

都用复数拆开表示：

rl+jxl=(1+Γr)+jΓi(1−Γr)−jΓir_l+jx_l=\frac{(1+\Gamma_r)+j\Gamma_i}{(1-\Gamma_r)-j\Gamma_i}rl+jxl=(1−Γr)−jΓi(1+Γr)+jΓi

右侧上下同乘分母的的复共轭，可以将分母实数化，求出：

rl=1−Γr2−Γi2(1−Γr)2+Γi2r_l=\frac{1-\Gamma_r^2-\Gamma_i^2}{(1-\Gamma_r)^2+\Gamma_i^2} rl=(1−Γr)2+Γi21−Γr2−Γi2xl=2Γi(1−Γr)2+Γi2x_l=\frac{2\Gamma_i}{(1-\Gamma_r)^2+\Gamma_i^2}xl=(1−Γr)2+Γi22Γi

重新整理可以得到：

(Γr−rl1+rl)2+Γi2=(11+rl)2(\Gamma_r-\frac{r_l}{1+r_l})^2+\Gamma_i^2=(\frac{1}{1+r_l})^2 (Γr−1+rlrl)2+Γi2=(1+rl1)2(Γr−1)2+(Γi−1xl)2=(1xl)2(\Gamma_r-1)^2+(\Gamma_i-\frac{1}{x_l})^2=(\frac{1}{x_l})^2(Γr−1)2+(Γi−xl1)2=(xl1)2

上面是电阻圆，下面是电抗圆，示意如图：

最后还有驻波比圆。注意驻波比是系统不变量，而且它的在圆图中对应的圆就和此时反射系数圆重合，只是尺度不同，希望读者不要搞混。

别的就先不想记了。

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