漫步数理统计七——随机变量(上)

读者可能会有这样的感受，如果样本空间C\textbf{C}中的元素不是数的话，描述起来非常麻烦，现在我们就形式化一个规则或者一组规则，根据这些规则，C\textbf{C}中的元素cc可以用数来表示。首先讨论最简单的情况，考虑掷硬币的随机试验，样本空间是C={c:其中c是T或者c是H}\textbf{C}=\{c:\text{其中}c\text{是}T\text{或者}c\text{是}H\}，T,HT,H分别表示尾与头。XX是一个函数，如果cc是TT，那么X(c)=0X(c)=0，如果cc是HH，那么X(c)=1X(c)=1，因此XX是定义在样本空间C\textbf{C}上的实值函数，这就让我们从样本空间C\textbf{C}变换到了实数D={0,1}\textbf{D}=\{0,1\}空间，现在我们形式化随机变量与其空间的定义。

定义1：\textbf{定义1：}考虑样本空间为C\textbf{C}的随机试验，函数XX给每个元素c∈Cc\in\textbf{C}只分配一个数X(c)=xX(c)=x，我们称其为随机变量，XX的空间或者值域是实数D={x:x=X(c),c∈C}\textbf{D}=\{x:x=X(c),c\in\textbf{C}\}的集合。

在我们的讨论中，D\textbf{D}一般是可数集合或者一个实数区间，我们称第一种类型的随机变量为离散随机变量，第二种称为连续随机变量。本篇先讨论离散与连续随机变量的例子，然后再分别详细讨论他们。

随机变量XX诱导出实数轴RR上的新样本空间D\textbf{D}，那么与事件B\textbf{B}和概率PP相似的又是什么呢？

考虑XX是一个离散随机变量，且有一个有限的空间D={d1,…,dm}\textbf{D}=\{d_1,\ldots,d_m\}，这时候有mm个事件由：

{c∈C:X(c)=di},i=1,…,m

\{c\in\textbf{C}:X(c)=d_i\},\quad i=1,\ldots,m

给定，因此，对于随机变量，D\textbf{D}上的σ\sigma域是由简单事件d1,…,dm{{d_1},\ldots,{d_m}}(D\textbf{D}的集(所有子集集合)生成的，令F\textbf{F}表示这个σ\sigma 域。

从而我们有了一个样本空间与一个事件集，那么概率集合函数呢？对于F\textbf{F}中的任何事件BB，我们定义

PX(B)=P[{c∈C:X(c)∈B}](1)

\begin{equation} P_X(B)=P[\{c\in\textbf{C}:X(c)\in B\}]\tag1 \end{equation}

我们需要说明PXP_X满足概率的三公理。

注意，首先PX(B)>0P_X(B)>0，其次，因为XX的定义域是C\textbf{C}，所以我们有PX(D)=P(C)=1P_X(\textbf{D})=P(\textbf{C})=1，因此PXP_X满足概率的前两个公理，对第三个公理得证明留给读者。由此可知PXP_X是D\textbf{D}上的概率，我们称PXP_X是随机变量XX 在D\textbf{D}上导出的概率。

我们现在简化上面的讨论，因为F\textbf{F}中的任何事件BB是D={d1,…,dm}\textbf{D}=\{d_1,\ldots,d_m\}的一个子集，PXP_X 满足

PX(B)=∑di∈BP[{c∈C:X(c)=di}]

P_X(B)=\sum_{d_i\in B}P[\{c\in\textbf{C}:X(c)=d_i\}]

因此，PXP_X完全由函数

pX(di)=PX[{di}],fori=1,…,m(2)

\begin{equation} p_X(d_i)=P_X[\{d_i\}],for\quad i=1,\ldots,m\tag2 \end{equation}

函数pX(di)p_X(d_i)称为XX的概率质量函数，简写为pmfpmf，下面先给出一段批注，然后考虑一个实例。

注1：\textbf{注1：}在等式1与2中，根据PX,pXP_X,p_X中的下标XX 可以看出他们是随机变量导出的概率集合函数与pmf，我们会经常使用这种符号，尤其是讨论多个变量的时候。另一方面，如果随机变量很明显，那么我们就省略不写。

例1：\textbf{例1：}现在掷两次骰子，令XX表示两次得到的数字之和，样本空间是C={(i,j):1≤i,j≤6}\textbf{C}=\{(i,j):1\leq i,j\leq 6\}，因为骰子每面朝上的概率是相等的，所以P[(i,j)]=1/36P[ {(i,j)}]=1/36，随机变量XX是X(i,j)=i+jX(i,j)=i+j，XX的空间是D=2,…,12\textbf{D}={2,\ldots,12}，XX的pmf为

C\textbf{C}上的概率空间的σ\sigma域由2362^36个子集组成，(C\textbf{C}中元素子集的个数)但是我们感兴趣的是随机变量XX，只有11个我们感兴趣的事件；即事件X=k,k=2,…,12{X=k},k=2,\ldots,12。为了说明关于XX的概率计算，假设B1={x:x=7,11},B2={x:x=2,3,12}B_1=\{x:x=7,11\},B_2=\{x:x=2,3,12\}，那么

PX(B1)PX(B2)=∑x∈B1pX(x)=636+236=836=∑x∈B2pX(x)=136+236+136=436

\begin{align*} P_X(B_1)&=\sum_{x\in B_1}p_X(x)=\frac{6}{36}+\frac{2}{36}=\frac{8}{36}\\ P_X(B_2)&=\sum_{x\in B_2}p_X(x)=\frac{1}{36}+\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{4}{36} \end{align*}

其中pX(x)p_X(x)如表中所示。

对于连续随机变量，考虑下面简单的试验：在区间(0,1)(0,1)上随机选择一个实数，令XX表示选择的数，此时XX的空间是D=(0,1)\textbf{D}=(0,1)，这不像上面的例子那样可以容易的导出PXP_X的概率，但是有一些直观上的概率，例如，因为数是随机选择的，所以我们感觉

PX[(a,b)]=b−a,for0<a<b<1

P_X[(a,b)]=b-a,for\quad 0

的分配方式比较合理。

对于连续随机变量XX，我们想要XX的概率模型是由区间概率确定的，因此我们取RR上事件的类别为博莱尔σ\sigma域B0\textbf{B}_0，它是由区间导出的。注意它也包含了离散随机变量。例如，事件di{d_i}可以用取得的交来表示；例如{di}=∩n(di−(1/n),di]\{d_i\}=\cap_n(d_i-(1/n),d_i]。

定义2：\textbf{定义2：}令XX是随机变量，那么它的累加分布函数，(cdf)(cdf)定义为

FX(x)=PX((−∞,x])=P(X≤x)(3)

\begin{equation} F_X(x)=P_X((-\infty,x])=P(X\leq x)\tag3 \end{equation}

注2：\textbf{注2：}回顾一下，PP是样本空间C\textbf{C}上的概率，所以等式3中右边的项需要定义，我们定义为

P(X≤x)=P({c∈C:X(c)≤x})

P(X\leq x)=P(\{c\in\textbf{C}:X(c)\leq x\})

这是比较方便的缩写形式，我们会经常使用这种写法。

另外，FX(x)F_X(x)经常称为分布函数(df)(df)，然而，我们加上累加，以此来说明FX(x)F_X(x)累加了小于等于x<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2340">x</script>的概率。

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