漫步数理统计十——连续随机变量(上)

上篇文章我们讨论了离散随机变量，在统计应用中还有一个非常重要的随机变量，那就是这里要讲的连续随机变量。

定义1：\textbf{定义1：}对于某个随机变量，如果它的累加分布函数FX(x)F_X(x)对于所有的x∈Rx\in R都是连续的，那么我们称其为连续随机变量。

回忆一下之前讲过的，对于任意的随机变量X,P(X=x)=FX(x)−FX(x−)X,P(X=x)=F_X(x)-F_X(x-)，因此对于一个连续随机变量XX，不存在离散质量的点；即如果XX是连续的，那么对于所有的x∈R,P(X=x)=0x\in R,P(X=x)=0，大部分连续随机变量是绝对连续的，即存在某个函数fX(t)f_X(t)，使得

FX(x)=∫x−∞fX(t)dt

F_X(x)=\int_{-\infty}^xf_X(t)dt

函数fX(t)f_X(t)称为XX的概率密度函数，如果fX(x)f_X(x)也是连续的，那么根据微积分基本定理可得

ddxFX(x)=fX(x)

\frac{d}{dx}F_X(x)=f_X(x)

连续随机变量XX的支撑由满足fX(x)>0f_X(x)>0的点xx组成，与离散情况一样，我们常用S\textbf{S}表示XX的支撑。

如果XX是一个连续随机变量，那么通过积分可以得到其概率，即

P(a<X≤b)=FX(b)−FX(a)=∫bafX(t)dt

P(a

另外对于连续随机变量，P(a<X≤b)=P(a≤X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X<b)P(a，因为fX(x)f_X(x)在XX的支撑上是连续的且FX(∞)=1F_X(\infty)=1，所以pdf满足两个性质：

(i):fX(x)≥0;(ii):∫∞−∞fX(t)dt=1

(i):f_X(x)\geq 0;(ii):\int_{-\infty}^{\infty}f_X(t)dt=1

在高等概率论教程中，如果一个函数满足上面的两个性质，那么它就是一个连续随机变量的pdf。

考虑在区间(0,1)(0,1)中随机选一个数的例子，所选的数字XX 就是一个连续随机变量的例子，对于x∈(0,1)x\in(0,1)，XX的cdf是FX(x)=xF_X(x)=x，因此XX的pdf为

fX(x)={10x∈(0,1)elsewhere

f_X(x)= \begin{cases} 1&x\in(0,1)\\ 0&elsewhere \end{cases}

任何连续或离散随机变量XX，如果它的pdf或pmf在XX的支撑上是常数，那么我们说其满足均匀分布。

例1：\textbf{例1：}假设我们在半径为1的单位圆上随机选一个点，令XX表示原点与该点的距离，那么试验的样本空间是C={(w,y):w2+y2<1}\textbf{C}=\{(w,y):w^2+y^2，因为点是随机选择的，似乎C\textbf{C}的子集CC等价于面积，因此所选点位于的集合CC正比于CC的面积；即

P(C)=C的面积π

P(C)=\frac{C\text{的面积}}{\pi}

对于0<x<10，事件{X≤x}\{X\leq x\}等价于半径为xx的圆中的点。根据概率法则可得P(X≤x)=πx2/π=x2P(X\leq x)=\pi x^2/\pi=x^2，因此XX的cdf为

FX(x)=⎧⎩⎨0x21x<00≤x<11≤x

F_X(x)= \begin{cases} 0&x

XX的pdf为

fX(x)={2x00≤x<1elsewhere

f_X(x)= \begin{cases} 2x&0\leq x

为了说明，所选点位于半径为1/4,1/21/4,1/2环中的概率为

P(14<X≤12)=∫12142wdw=[w2]|1214=316

P(\frac{1}{4}

例2：\textbf{例2：}令随机变量表示繁忙阶段打进电话的时间间隔(单位为秒)，假设XX随机变量模型的pdf为

fX(x)={14e−x/400<x<∞elsewhere

f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{4}e^{-x/4}&0

注意fXf_X满足pdf的两个性质，即(i)f(x)≥0(i)f(x)\geq 0且(ii)(ii)

∫∞014e−x/4dx=[−e−x/4]|∞0=1

\int_0^\infty\frac{1}{4}e^{-x/4}dx=[-e^{-x/4}]|_0^\infty=1

为了说明，连续两次电话的时间超过4秒的概率为

P(X>4)=∫∞014e−x/4dx=e−1=0.3679

P(X>4)=\int_0^\infty\frac{1}{4}e^{-x/4}dx=e^{-1}=0.3679

上面考虑的pdf与概率如图1所示。

图1

令XX是连续随机变量，pdfX_X是已知的。与离散情况一样，我们经常对随机变量YY感兴趣，而随机变量是XX的某个变换，Y=g(X)Y=g(X)，我们一般通过得到YY的cdf后即可求出pdf，接下来举例说明。

例3：\textbf{例3：}令XX是例1中的随机变量，表示单位圆中随机选的点距原点的距离。假设我们对距离的平方感兴趣；即Y=X2Y=X^2，YY的支撑与XX是一样的即SY=(0,1)\textbf{S}_Y=(0,1)，YY的cdf是什么呢？我们知道XX的cdf是

FX(x)=⎧⎩⎨0x21x<00≤x<11≤x

F_X(x)= \begin{cases} 0&x

令yy位于YY的支撑中；例如0<y<10，那么利用上式以及XX的支撑只包含正值，那么YY的cdf是

FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=P(X≤y√)=FX(y√)=y√2=y

F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq\sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})=\sqrt{y}^2=y

紧接着YY的pdf是

fY(y)={100<y<1elsewhere

f_Y(y)= \begin{cases} 1&0

例4：\textbf{例4：}令fX(x)=12,−1<x<1f_X(x)=\frac{1}{2},-1，其余地方为0，是随机变量XX的pdf，随机变量YY为Y=X2Y=X^2，我们希望找出YY的pdf。如果y≥0y\geq 0，概率P(Y≤y)P(Y\leq y)等价于

P(X2≤y)=P(−y√≤X≤y√)

P(X^2\leq y)=P(-\sqrt{y}\leq X\leq\sqrt{y})

YY的cdf，FY(y)=P(Y≤y)F_Y(y)=P(Y\leq y)为

FY(y)=⎧⎩⎨⎪⎪0∫y√y√12dx=y√1y<00≤y<11≤y

F_Y(y)= \begin{cases} 0&y

因此YY的pdf为

fY(y)={12y√00<y<1elsewhere

f_Y(y)= \begin{cases} \frac{1}{2\sqrt{y}}&0

这些例子说明了累加分布函数方法。第一个例子中的变换是一对一的，这时候我们用XX的pdf得到YYpdf的简单形式，如下篇文章的定理所述。

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