畅通工程（最小生成树模板）

题目描述

给出无向图中M个节点间N条边的权值。
求一个使得所有点连通的子图,要求图内的边权和最小

Input

测试输入包含若干测试用例
每个测试用例的第1行包含N、M ( <100 )
随后的 N 行每行包含3个数,边的起点,终点,权值
节点从1到M编号
当N为0时，全部测试结束.

Output

对每个测试用例，在1行里输出最小生成树权值。
若不存在符合要求的子图，则输出“?”。

Sample Input

3 3
1 2 1
1 3 2
2 3 4
1 3
2 3 2
0 100

Sample Output

3
?

kruskal算法：
定理：任意一个最小生成树一定包含无向图中权值最小的那一条边。
所以给定一张无向图G = （V, E）,n = V, m = E,先选出k条边构成一个生成森林，再从剩余的m-k条边中选出n - 1 - k添加到森林中，并且选出的边的权值之和最小.
kruskal算法从剩余的边中选出权值最小的，加入到森林中，图中节点的联通情况可用并查集维护

kruskal算法流程:
1.建立并查集，每个点各自构成一个集合
2.把所有的边按照权值从小到大排序，一次扫描每一条边
3.若x，y属于同一个集合，则忽略这条边，继续扫描下一条边
4.否则，合并x，y所在的集合，并将z累加到答案中

时间复杂度：O(m log(m)).
代码如下：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int f[200005];
struct p{int x, y, z;
}arr[200005];
bool cmp(p a, p b)
{return a.z < b.z;
}
int Find(int x)
{if(x != f[x])f[x] = Find(f[x]);return f[x];
}
int main()
{int n, m;cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i++)f[i] = i;for(int i = 0; i < m; i++){cin >> arr[i].x >> arr[i].y >> arr[i].z;}sort(arr, arr + m, cmp);int ans = 0, sum = 0;for(int i = 0; i < m; i++){int x = Find(arr[i].x);int y = Find(arr[i].y);if(x == y)continue;f[x] = y;sum++;ans += arr[i].z;if(sum == n - 1)break;}cout << ans << endl;return 0;
}

prim算法：
Prim算法的思想是：取图中任意一点作为起点放入树中，并向邻近树的点不断延伸，每次延伸的点要求满足到树的距离最短。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define Maxn 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int arr[105][105];
int dis[105];  //记录每个结点间的最短距离
bool vis[105];  //判断该点是否被选过
int n ,m, ans;
void prim()
{memset(vis, false, sizeof vis);for(int i = 0; i <= n; i++)dis[i] = arr[1][i];dis[1] = 0;vis[1] = true;for(int i = 1; i < n; i++){int x = 0;for(int j = 1; j <= n; j++){if(!vis[j] && dis[j] < dis[x]){x = j;}}if(!x){cout << "?" << endl;return ;}vis[x] = true;ans += dis[x];for(int i = 1; i <= n; i++)if(!vis[i])dis[i] = min(dis[i], arr[x][i]);}cout << ans << endl;
}
int main()
{while(cin >> m >> n &&m){for(int i = 0; i <= n; i++)for(int j = 0; j <= n; j++)arr[i][j] = i == j? 0 : Maxn;int a, b, c;for(int i = 1; i <= m; i++){cin >> a >> b >> c;arr[a][b] = arr[b][a] = min(arr[a][b], c);}ans = 0;prim();}return 0;
}

prim算法之二叉堆优化，时间复杂度：O(m log(n))
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int arr[105][105];
int dis[105];
bool vis[105];
typedef pair<int ,int > p;
int main()
{int n, m;while(cin >> m >> n && m){for(int i = 0; i <= n; i++)for(int j = 0; j <= n; j++)arr[i][j] = i == j ? 0 : INF;memset(dis, INF, sizeof dis);memset(vis, false, sizeof vis);int a, b, c;for(int i = 0; i < m; i++){cin >> a >> b >> c;arr[a][b] = arr[b][a] = min(arr[a][b], c);}priority_queue<p, vector<p>, greater<p> > q;dis[1] = 0;int ans = 0, sum = 0;q.push({0, 1});while(q.size()){p cur = q.top();q.pop();int u = cur.second;if(vis[u])continue;vis[u] = true;sum++;ans += dis[u];for(int i = 1; i <= n; i++){if(!vis[i] && dis[i] > arr[u][i]){dis[i] = arr[u][i];q.push({dis[i], i});}}}if(sum == n)cout << ans << endl;  //判断是否连通else cout << "?" << endl;}return 0;
}

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