【基本算法】穷举算法

1、什么是穷举？

穷举算法是最简单的一种算法，其依赖于计算机的强大计算能力，来穷尽每一种可能的情况，从而达到求解问题的目的。

穷举算法效率并不高，但适用于一些没有明显规律可循的场景。基本思想是从所有可能的情况中搜索正确的答案，在使用穷举算法时，需要明确问题的答案的范围，这样才可以在指定范围内搜索答案。指定范围之后，就可以使用循环语句和条件判断语句逐步验证候选答案的正确性，从而得到需要的正确答案。其执行步骤如下：

(1). 对于一种可能的情况，计算其结果；

(2). 判断结果是否满足要求，如果不满足则执行第（1）步来搜索下一个可能的情况；如果满足要求，则表示寻找到一个正确的答案。

2、穷举算法应用

鸡兔同笼

鸡兔同笼问题最早记载于1500年前的《孙子算经》，是我国古代一个非常有名的问题，原文如下：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

翻译过来的意思是在一个笼子里关着若干只鸡和若干只兔，从上面数共有35个头；从下面数共有94只脚。问笼中鸡和兔的数量各是多少？题目要计算鸡的数量和兔的数量，通过分析可以知鸡的数量应该为0～35之间的数。

基于该思路，可以使用穷举法来逐个判断是否符合条件，从而得到答案。暴力穷举.....，Java代码实现如下：

public class Test {/** 鸡的数量、兔子数量 */public static int chicken, rabbit;/** 穷举.... */public static boolean getAmount(int header, int foot) {boolean flag = false;int j; // j 兔子数量for (int i = 0; i < header; i++) { // i 鸡的数量j = header - i;if (foot == (2 * i + 4 * j)) {chicken = i;rabbit = j;flag = true;}}return flag;}/** 测试结果：有鸡23只, 有兔12个 */public static void main(String[] args) {// 上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？if (getAmount(35, 94)) {System.out.println("有鸡" + chicken + "只, 有兔" + rabbit + "个");}}
}

当然，鸡兔同笼问题，最简单的是使用解方程的思路了，设置x，y分别代表鸡和兔，foot，header分别代表足和头，那么可以得到一个一元二次方程组：x + y = header; 2*x + 4*y = foot; 消元求解可得：y = (foot - 2*header)/2 ; x = header-y; 这样也解出了鸡兔同笼的问题。

百钱买百鸡问题

百钱买百鸡是一个非常经典的不定方程问题，最早源于我国古代的《算经》，这是古代著名数学家张丘建首次提出的。百钱买百鸡问题的原文如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？

翻译过来的意思是公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，如果用100文钱买100只鸡，那么公鸡、母鸡和小鸡各应该买多少只呢？使用解方程的思路的话，该问题中，有三个变量：公鸡数量、母鸡数量和小鸡数量，分别设为x、y和z。这三者应该满足如下关系：x+y+z=100; 5x+3y+z/3=100; 这里有三个变量，两个方程，因此是一个不定方程问题，这将导致求解的结果不只一个。

当然，这里使用穷举法来逐个判断是否符合条件，从而得到答案，很暴力很粗鲁，Java代码实现如下：

public class Test {/*** 打印结果：*  有鸡翁0只, 有鸡母25只, 有鸡雏75只*  有鸡翁4只, 有鸡母18只, 有鸡雏78只*  有鸡翁8只, 有鸡母11只, 有鸡雏81只*  有鸡翁12只, 有鸡母4只, 有鸡雏84只**/public static void main(String[] args) {getChickenAmount(100, 100);}/*** 鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？*/public static void getChickenAmount(int money, int amount) {int k; // k 鸡雏for (int i = 0; i < amount; i++) { // i 鸡翁for (int j = 0; j < amount; j++) { // j 鸡母k = amount - i - j;if (k > 0 && (k % 3 == 0) && (5 * i + 3 * j + k / 3) == money) {System.out.println("有鸡翁" + i + "只, 有鸡母" + j + "只, 有鸡雏" + k + "只");}}}}
}

3、穷举的优缺点

穷举的优点就是直观，会粗鲁的列举出每一种情况，这也成为了其致命的缺点，会造成程序运行效率低，代码冗余等问题，一般不推荐使用。

参考书籍：《Java常用算法手册（第3版）》