bzoj-2818 Gcd

2818: Gcd
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题目描述
给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

输入
一个整数N

输出
如题

样例输入
4

样例输出
4
提示

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

来源
湖北省队互测

题解
一道数论的小题。
首先，为了方便思考，我们先设 x<=y。
由于 gcd(x,y) = p（p为素数），假如 a*p=x，b*p=y 那么 gcd(a,b) = 1。
也就是求 ∑ny=1φ(y/pi)∑y=1nφ(y/pi)\sum_{y=1}^nφ(y/p_i) 其中 pi≤ypi≤yp_i ≤ y 且为质数。

如果用来枚举，那么真是太慢了。由于 y 的取值为 [1,n][1,n][1,n]，所以 y/piy/piy/p_i 的取值为 [1,⌊n/pi⌋][1,⌊n/pi⌋][1,⌊ n/p_i⌋ ]。
也就是对于每个 pipip_i 累计 ∑⌊y/pi⌋k=1φ(k)∑k=1⌊y/pi⌋φ(k)\sum_{k=1}^{⌊y/p_i⌋}φ(k)，所以我们可以对存 φ(i)φ(i)φ(i) 的数组求前缀和。（φ(i)φ(i)φ(i)必然要用线性筛来求）

又因为 x和y 的位置可以互换，所以对于每个 pipip_i 的 ∑⌊y/pi⌋k=1φ(k)∑k=1⌊y/pi⌋φ(k)\sum_{k=1}^{⌊y/p_i⌋}φ(k) 要 × 2 然后扣掉 x=yx=yx=y 的情况数。
此时对于每个 pipip_i 求的 ∑⌊y/pi⌋k=1φ(k)∑k=1⌊y/pi⌋φ(k)\sum_{k=1}^{⌊y/p_i⌋}φ(k) 等价为 gcd(x,y) = p[i] 的情况数。
所以 gcd(x,y) = p[i] 当且仅当 x = y = p[i] 的时候，所以只需扣去 1 就可以了。

这道题在解法上给人带来一点启发：此类题目，求某种关系的数对时，我们可以尝试着把它们转化为互质关系，然后利用欧拉函数来求。

代码

#include<cstdio>
const int maxn=1e7+5;
int n,p[maxn];
bool vis[maxn];
long long ans,phi[maxn];
void xianxingshai()
{vis[1]=1;phi[1]=1;for (int i=2;i<=n;i++){if (!vis[i]) {p[++p[0]]=i;phi[i]=i-1;}for (int j=1;j<=p[0]&&(long long)p[j]*i<=n;j++){vis[i*p[j]]=1;if (i%p[j]) phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);else {phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];break;}}}
}
int main()
{scanf("%d",&n);xianxingshai();ans=0;for (int i=1;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];for (int i=1;i<=p[0];i++) ans+=(phi[n/p[i]]<<1)-1;printf("%lld",ans);return 0;
}

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