怎样很好的恢复一个正弦波信号

很多时候需要去产生一个正弦波信号，比如步进电机的多细分控制。一般的，会用到DAC。这里有一个问题，用DAC去输出一个个离散数值来拟合正弦波的时候，DAC的有效位数对拟合出的正弦波精度有多大影响呢？或者说，要用多少位的DAC才能很好的拟合出所要的正弦波？(这里说的是有效位数，也就忽略了DAC器件本身的特性，认为DAC是理想元件)

很多年以前王小Q在做步进细分的时候就有这样一个疑问，当时年纪小，做事情不求甚解，最近又要搞一次，决定把这个问题彻底搞清楚。

使用DAC输出离散数值拟合正弦波，是一种等时间间隔的波形恢复方式。被恢复正弦波的幅度可以依靠DAC的参考REF以及后级信号放大电路来调节，被恢复正弦波的频率可以通过改变DAC的频率来调节，为方便分析，对正弦波的幅度归一化用“1”，而对频率不予考虑。同样为简单起见，规定正弦波半波幅度被分成2^N份。

举个实际的栗子，细分芯片A3967可以按照如下图1所示对一个完整正弦波等时间均匀的分成4个2^N等份，N=2，(这个叫做步进驱动的2^N=4细分)，其中，半波幅度被分成38.3%、70.7%、100%几个值，很显然，用一个N=2位的DAC不能很好的拟合出这样一个16等分的正弦波，因为即使不必考虑正负，2位DAC的最小分辨幅度只有1/2^2=25%，用几个整数倍的25%能拟合出38.3%和70.7%呢？很显然不行。

图1 A3967对步进驱动的一种细分方式

通过简单的实例的分析，可以对问题进一步提炼一下：假设对一个正弦波进行等时间间隔的分割，分为4*2^N份，其中半波幅度被分为2^N份，那么，要求正弦波的幅度方向上应该有至少多少位的分辨率，才能使正弦波具有很好的还原度？

要使被恢复正弦波不失真，那么需要在每一个采样时刻的幅度都能被DAC的输出序列所覆盖。被恢复正弦波的1/4周期被分成了2^N份，那么这1/4周期的幅度就是

而对于一个具有M位有效位的DAC来说，其能输出的幅度序列为

于是问题可以进一步转变为：M的值最小取多少，才能使得数组①：

中的每一个值都能在数组②：

中被找到呢？

这似乎是一个比较容易理清思路的计算查找问题，考虑到工程应用中N的值取8以下比较常见，而实际DAC器件的有效位数也不会超过20，也就是说M<=20，于是，可以带入N=8，先求出第一个数组，然后枚举M= 9~20时的第二个数组，查找第一个数组中每一个元素是否在第二个数组中。考虑到工程应用上也不会对数值有100%相等的要求，所以比较时可以增加一个误差系数……

于是王小Q兴奋的下载了C语言编译器，在试过3个不同版本后才终于能让编译器稳定运行，然后又是一通的百度语句语法+敲代码+调试，发现，不出结果，闪退，真是一顿操作猛如虎，回头一看原地杵。经过对语句的调试分析，发现似乎是编译器处理超长双精度浮点数组的时候出问题了。呃，王小Q生无可恋的拿过草纸，呆呆地看着上面写的两个数组，想了想，这似乎还是一个最大公约数的问题，也就是数组①的最大公约数是多少，这个最大公约数应该是数组②中最小的数。用计算机求解两个数的最大公约数是一个在学习编程阶段很初级的问题，但是求解这么多数的最大公约数，不管用哪种算法，都会使程序占用大量的计算和存储资源，王小Q想了想恐怖的n！问题，觉得还是算了吧……

隔了很多天以后(国庆)，王小Q再次回到这个问题上，过了个假期脑袋迟钝了，还是先画画图，于是打开visio，用小方格来还原正弦波，没成想，灵感又有了。

图2 用小长方形去还原正弦波

从图上可以把这个问题简化成，用一系列小长方形去还原正弦波，长方形的高H设置为是长度L的多少，能使得还原出的正弦波与理想正弦波非常接近。

仔细观察小方格还原出正弦波的波峰/波谷和过零点位置，可以得出一个结论：波峰/波谷处，也就是幅度变化率(导数)最小的位置，应该是进行波形恢复时最应该关注的地方，如果能把峰/谷处的最小变化幅度区分开，由于正弦波波形变化率在半波范围内的单调性，那么其他位置处的幅度都将被很好的表示出来。也就是要用

y=1/2^M

能把

比较准确的表示出来。什么叫做“比较准确的表示出来”呢？不难发现应该需要满足y，上限应该是y = x/2，那么下限呢？应该是没有的，越小越好嘛，但是不能这么办，工程师是要抓狂的。设定一个系数δ来表示y/x，理想的δ取值在0~50%之间。于是王小Q把N=8带入，在δ不同条件下求得M的值，得到表1中的数据。

表1

万万没想到竟然要这么高的位数，这要是对应DAC位数的话，还要再加一位，还是有效值，王小Q看着结果有点惊讶了。于是把正弦波分割数减小一点，改为N=7和N=6分别计算结果如下表2表3所示。

表2

表3

看来即使细分数少很多，仍然需要很多位数的啊，并且还是有效位数，而且这还只是一种近似的粗略算法，看到这样的结果，突然就觉得搞的细分他就不香了。想想之前用12位DAC做的256细分控制，虽然宏观上看着波形挺好的，但从上面的分析可以看出，那时的峰谷一定是梯形的。

虽然这样，考虑到使用要求，考虑到红红绿绿的毛爷爷，还是继续用12位的去细分吧，这也叫做，看清了XX的真相，依然热爱XX吧。

能仔细探究一个问题，搞明白了，还是很开心的。最后违心的说一句，我爱工作，工作使我快乐。