《数论概论》读书笔记第三章勾股数组与单位圆

本章讲的是勾股数组与单位圆的关系，讲关于勾股数的公式可以通过几何形式来推出。

定理3.1:定理3.1:

圆x2+y2=1x^2+y^2=1上的坐标是有理数的点都可以由公式： (x,y)=(1−m21+m2,2m1+m2)(x,y)=(\frac{1-m^2}{1+m^2},\frac{2m}{1+m^2})得到，其中mm取有理数值.（点(−1,0)(-1,0)例外，这个当m→∞m\rightarrow \infty时的极限值）。

习题解析：
1.1.
(a) (a)如果uu和vv有公因数，假设d|ud|u且d|vd|v，那么显然会有d|a,d|b,d|c，d|a,d|b,d|c，所以(a,b,c)(a,b,c)不是本原勾股数组。
(b)(b)是否存在uu和vv没有公因数(u>0,v>0)(u>0,v>0)，但是该三元组(u2−v2,2uv,u2+v2)(u^2-v^2,2uv,u^2+v^2)不是本原的。如果要让d|a,d|b,d|cd|a,d|b,d|c，又要让dd不被uu或vv整除，那么只有让d=2d=2，vv和uu是奇数，那么显然aa和cc是偶数，2uv2uv也是偶数，例如(6,8,10),(6,8,10),此时u=3,v=1.u=3,v=1.
(c)(c)自己打表。
(d)(d)打表可以发现，当uu和vv互质且uu和vv一奇一偶时，(a,b,c)(a,b,c)是本原的。
(e)(e)证明：u=2k+1,v=2tu=2k+1,v=2t
u2+v2=4k2+4k+1+4t2u^2+v^2=4k^2+4k+1+4t^2
2uv=2∗2t(2k+1)2uv=2*2t(2k+1)
u2−v2=4k2+4k+1−4t2u^2-v^2=4k^2+4k+1-4t^2
反证：
设(u2−v2,2uv,u2−v2)(u^2-v^2,2uv,u^2-v^2)不是本原的，即存在d
d!=1且d不能整除u或vd!=1且d不能整除u或v
d|(4k2+4k+1+4t2)..................1d|(4k^2+4k+1+4t^2)..................1
d|2∗2t(2k+1).........................2d|2*2t(2k+1).........................2
d|(4k2+4k+1−4t2)...................3d|(4k^2+4k+1-4t^2)...................3
如果d来自2d来自2，那么显然与11式和33式矛盾。
如果dd来自2t，2t，那么dd不整除uu，与11式和33式矛盾。
同理如果dd来自(2k+1)，(2k+1)，与11式和33式矛盾
所以当uu和vv一奇一偶且互质时，(u2−v2,2uv,u2−v2)(u^2-v^2,2uv,u^2-v^2)才是本原的。

2.
(a)(v2−2uv−u2u2+v2,u2−2uv+v2u2+v2)(\frac{v^2-2uv-u^2}{u^2+v^2},\frac{u^2-2uv+v^2}{u^2+v^2})
(b)如果用相同的方法求圆x2+y2=3x^2+y^2=3上所有坐标为有理数的点，那么会发现没有一个坐标为有理数值点能够作为基准点，也就是不能找到能起到像x2+y2=2x^2+y^2=2中的点(1,1)(1,1)，x2+y2=1x^2+y^2=1中的点(−1,0)(-1,0)这种作用的点。

3.答案：(u2+v2u2−v2,2uvu2−v2)(\frac{u^2+v^2}{u^2-v^2},\frac{2uv}{u^2-v^2})。
用双曲线的方法也能推出勾股数组的通项公式，这是因为把公式变形为(ca)2−(ba)2=1，(\frac{c}{a})^2-(\frac{b}{a})^2=1，就可以用双曲线求解了。得到这个答案后将分母约去，就可以求出aa了。

4.对于y2=x3+8y^2=x^3+8
上有2个点为：(1,−3),(−74,138)(1,-3),(-\frac{7}{4},\frac{13}{8})。
第三个解为：(433121,97651331)(\frac{433}{121},\frac{9765}{1331})，这个是有理数吗？….翻译有错吧….