两个对称正定阵的乘积是正定的吗？

反例：


A =2    -4-4    10eigA =0.343111.6569

A 是对称正定阵


B =5    -4-4     4eigB =0.46898.5311

B 是对称正定阵

AB =26   -24-60    56S = (AB+BA)/226   -42-42    56eigS =-3.598285.5982

可见 AB 的对称部分不是正定的，因而 AB 不是正定的。

寻找类似以上反例的 matlab 代码如下：

n = 2;
for i = 1:100000P = randi([-3 3],n);Q = randi([-3 3],n);A = P'*PeigA = eig(A)B = Q'*QeigB = eig(B)AB = A*BS = (A*B+B*A)/2e = eig(S)if sum(e<-1e-6)>0fprintf('found\n')breakend
end

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