循环群的子群必然还是循环群

2024-06-08 06:01:31

前言：仅个人小记。我们知道群中任意一个元素都可以通过自乘形成循环群，但是循环群的子群难道也必然是循环群吗？也就是说循环群的子群也必然是由某个元素生成的循环群？也就是说，循环群的子群只可能是那些由元素自乘生成的循环群！
借助拓展欧几里得算法来实施证明。

前要知识

有限群的任意元素的阶都是存在的，且元素的阶必然整除群阶。

证明内容

循环群的子群必然还是循环群。

证明

设循环群 G , 生成元为 g，群阶 ∣G∣=n|G|=n∣G∣=n，因为循环群 G 中的任意一个元素都可以表达为生成元的幂的形式，故而，若 H 为循环群 G 的一个子群，则必然可写为

{gk1,gk2,...,gkm}，1<k1<k2<...<km≤n\{g^{k_1},g^{k_2},...,g^{k_m}\}，1<k_1<k_2<...<k_m\leq n{gk1,gk2,...,gkm}，1<k1<k2<...<km≤n并引入

d=min{k1,k2,...,km}d=min\{k_1,k_2,...,k_m\}d=min{k1,k2,...,km}

因为G是一个有限群，结合前要知识1知道，G中的任一元素的阶都存在，即任一元素都可以形成一个循环子群。故而对于元素 gdg^dgd，必然可以形成循环子群 <gd><g^d><gd>。

下面使用反证法：
假设 H 不是一个循环群，则必然存在

gki∈H,gki∉<gd>g^{k_i}\in H, g^{k_i} \notin <g^d>gki∈H,gki∈/<gd>故而

ki=qd+r,q,r为整数,0<r≤dk_i=qd+r,q,r 为整数,0<r\leq dki=qd+r,q,r为整数,0<r≤d又因为 H 是群，故而元素都可逆，容易知道(gd)−1=g−d(g^d)^{-1}=g^{-d}(gd)−1=g−d再因为封闭性，有

g−qdgki=g−qdgqd+r=gr∈Hg^{-qd}g^{k_i}=g^{-qd}g^{qd+r}=g^r\in Hg−qdgki=g−qdgqd+r=gr∈H因为 d=min{k1,k2,...,km}d=min\{k_1,k_2,...,k_m\}d=min{k1,k2,...,km}，r<dr<dr<d，故而矛盾，故而假设不成立，故而 G 的任意子群 H 必然是一个循环群。

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