斐波那契数列的背景及解决方法

斐波那契数列的背景及解决方法

背景：
前两天看到一道很有意思的数学题
假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？

首先，在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, …看出规律了吗？从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。这就是著名的斐波那契（Fibonacci）数列。

表示如图：

月份	兔子数量/对
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8

在这里我们可以看出斐波那契数列的规律，即从第三项开始，每项的值等于它前两项值得和，用数学表达式来表示就是：
Fibonacci数列的数学表达式就是：

F(1) = 1
F(2) = 1
F(3) = F(1) + F(2)
F(4) = F(2) + F(3)
…

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

最简单的方法，使用递归，但是慎用！！！

javapublic static int test3(int n) {if (n == 1 || n == 2) {return 1;}else {return test3(n-1) + test3(n-2);}}

可以看出，递归的优点是结构简单，但是缺点也很明显，那就是运算量太大，数据量小还可以，数据一大容易GG
所以，博主推荐使用下面循环的方法

递推方法（循环）：

javaint a = 1, b=1, c = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (i == 1) {System.out.println("第" + i + "等于" + a);}else if (i == 2) {System.out.println("第" + i + "等于" + b);}else {c = a+b;a = b;b = c;System.out.println("第" + i + "等于" + c);}}

这种循环的方式是通过给变量不断赋值，来实现结果，运算的时间复杂度要远小于递归方式。
递推方法-数组方式（循环）

java
int[] arrayList = new int[n];arrayList[0] = arrayList[1] =1;for (int i = 0; i < arrayList.length; i++) {if (i == 0) {System.out.println("第" + (i+1) + "等于" + arrayList[0]);}else if (i == 1) {System.out.println("第" + (i+1) + "等于" + arrayList[1]);}else {arrayList[i] = arrayList[i-1] +arrayList[i-2];System.out.println("第" + (i+1) + "等于" + arrayList[i]);}}

利用数组进行存储，把每项的计算结果都存放在数组当中，需要时直接从数组中进行存取，空间复杂度和时间复杂度都比较低。

下面放上几组网络图片，带大家更深入了解斐波那契数列

1.黄金分割
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……

2.矩形面积
斐波那契数列与矩形面积的生成相关，由此可以导出一个斐波那契数列的一个性质。斐波那契数列前几项的平方和可以看做不同大小的正方形，由于斐波那契的递推公式，它们可以拼成一个大的矩形。这样所有小正方形的面积之和等于大矩形的面积。则可以得到如下的恒等式：
F1²+F2²+…+Fn² = Fn * F(n+1)²

用途
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等

以上所述为总结资料自己理解，如有任何问题请联系作者。新人报道，欢迎大佬们指正（peng peng peng）

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