斐波那契数列O(logn)的求解方法

前言

是的，没错，斐波那契数列除了递推、递归算法之外，还有更加高效的求解方法，那就是矩阵运算+快速幂。

思路：
可以先利用矩阵运算的性质将通项公式变成幂次形式，然后用平方倍增（快速幂）的方法求解第 n 项。

首先我们定义向量
X_n=[a_n a_n−1],边界：X₁=[a₁ a₀]
然后我们可以找出矩阵：
A=[1110]A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1& 0 \end{matrix} \right] A=[1110]
则有：
X_n=X_n−1×A
所以：
X_n=X₁×Aⁿ⁻¹
由于矩阵具有结合律，所以我们可以先求出 Aⁿ⁻¹%P，然后再用 X₁左乘，即可求出 X_n，向量 X_n 的第一个元素就是 a_n。

具体实现：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <ctime>using namespace std;const int MOD = 1000000007;void mul(int a[][2], int b[][2], int c[][2])
{int temp[][2] = {{0, 0}, {0, 0}};for (int i = 0; i < 2; i ++ )for (int j = 0; j < 2; j ++ )for (int k = 0; k < 2; k ++ ){long long x = temp[i][j] + (long long)a[i][k] * b[k][j];temp[i][j] = x % MOD;}for (int i = 0; i < 2; i ++ )for (int j = 0; j < 2; j ++ )c[i][j] = temp[i][j];
}int f_final(long long n)
{int x[2] = {1, 1};int res[][2] = {{1, 0}, {0, 1}};int t[][2] = {{1, 1}, {1, 0}};long long k = n - 1;while (k){if (k&1) mul(res, t, res);mul(t, t, t);k >>= 1;}int c[2] = {0, 0};for (int i = 0; i < 2; i ++ )for (int j = 0; j < 2; j ++ ){long long r = c[i] + (long long)x[j] * res[j][i];c[i] = r % MOD;}return c[0];
}int main()
{long long n ;cin >> n;cout << f_final(n) << endl;return 0;
}

说明：
参考y总的总结
链接：https://www.acwing.com/blog/content/25/
来源：AcWing

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