任意椭圆和直线求交点方程组解析

以下为标准椭圆方程与一般直线方程的交点解析：
{y=kx+m直线方程x2a2+y2b2=1椭圆方程\,\,\left\{ \begin{array}{c} y=kx+m\,\,\text{直线方程}\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \text{椭圆方程}\\ \end{array} \right. {y=kx+m直线方程a2x2+b2y2=1椭圆方程
将直线方程带入椭圆方程得：
⇒x2a2+(kx+m)2b2=1\Rightarrow \,\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{\left( kx+m \right) ^2}{b^2}=1⇒a2x2+b2(kx+m)2=1

⇒x2a2+(kx+m)2b2=1\Rightarrow \,\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{\left( kx+m \right) ^2}{b^2}=1⇒a2x2+b2(kx+m)2=1

⇒b2x2+a2(kx+m)2=a2b2\Rightarrow \,\,b^2x^2+a^2\left( kx+m \right) ^2=a^2b^2⇒b2x2+a2(kx+m)2=a2b2

⇒b2x2+a2(k2x2+2kmx+m2)=a2b2\Rightarrow \,\,b^2x^2+a^2\left( k^2x^2+2kmx+m^2 \right) =a^2b^2⇒b2x2+a2(k2x2+2kmx+m2)=a2b2

⇒b2x2+a2k2x2+2a2kmx+a2m2−a2b2=0\Rightarrow \,\,b^2x^2+a^2k^2x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0⇒b2x2+a2k2x2+2a2kmx+a2m2−a2b2=0

⇒(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0\Rightarrow \,\,\left( b^2+a^2k^2 \right) x^2+2a^2kmx+a^2\left( m^2-b^2 \right) =0⇒(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0

⇒设{A=(b2+a2k2)B=2a2kmC=a2(m2−b2)\Rightarrow \text{设}\begin{cases} \,A=\left( b^2+a^2k^2 \right)\\ B=2a^2km\\ C=a^2\left( m^2-b^2 \right)\\ \end{cases}⇒设⎩⎪⎨⎪⎧A=(b2+a2k2)B=2a2kmC=a2(m2−b2)

⇒则方程式为： Ax2+Bx+C=0\Rightarrow \,\,\text{则方程式为： }Ax^2+Bx+C=0⇒则方程式为： Ax2+Bx+C=0

对于如下形式的一元二次方程：

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0

方程的两个根为：

x1=−b+b2−4ac2a；x2=−b−b2−4ac2ax_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{；}x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x1=2a−b+b2−4ac；x2=2a−b−b2−4ac

一元二次方程求根公式推导过程：{ax2+bx+c=0⇒x2+bax+ca=0⇒x2+bax=−ca⇒x2+2b2ax=−ca⇒x2+2b2ax+(b2a)2=−ca+(b2a)2⇒x2+2b2ax+b24a2=−ca+b24a2⇒(x+b2a)2=−ca+b24a2⇒(x+b2a)2=−4ac4a2+b24a2⇒(x+b2a)2=b2−4ac4a2⇒x+b2a=±(b2−4ac)2a⇒x=−b±(b2−4ac)2a\text{一元二次方程求根公式推导过程：}\begin{cases} ax^2+bx+c=0\\ \Rightarrow \,\,x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ \Rightarrow \,\,x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\ \Rightarrow \,\,x^2+2\frac{b}{2a}x=-\frac{c}{a}\\ \Rightarrow \,\,x^2+2\frac{b}{2a}x+\left( \frac{b}{2a} \right) ^2=-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right) ^2\\ \Rightarrow \,\,x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \Rightarrow \,\,\left( x+\frac{b}{2a} \right) ^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \Rightarrow \,\,\left( x+\frac{b}{2a} \right) ^2=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \Rightarrow \,\,\left( x+\frac{b}{2a} \right) ^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ \Rightarrow \,\,x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{\left( b^2-4ac \right)}}{2a}\\ \Rightarrow \,\,x=\frac{-b\pm \sqrt{\left( b^2-4ac \right)}}{2a}\\ \end{cases}一元二次方程求根公式推导过程：⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ax2+bx+c=0⇒x2+abx+ac=0⇒x2+abx=−ac⇒x2+22abx=−ac⇒x2+22abx+(2ab)2=−ac+(2ab)2⇒x2+22abx+4a2b2=−ac+4a2b2⇒(x+2ab)2=−ac+4a2b2⇒(x+2ab)2=−4a24ac+4a2b2⇒(x+2ab)2=4a2b2−4ac⇒x+2ab=2a±(b2−4ac)⇒x=2a−b±(b2−4ac)

以下为通用椭圆方程与通用直线方程的交点解析：
参考：标准椭圆和任意椭圆方程之间的变换公式推导
kx+my+n=0通用直线方程kx+my+n=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,通用直线方程kx+my+n=0通用直线方程
将直线方程化简：
y=−kmx−nmy=-\frac{k}{m}x-\frac{n}{m}y=−mkx−mn

⇒设{K=−kmM=−nm\Rightarrow \text{设}\begin{cases} K=-\frac{k}{m}\\ M=-\frac{n}{m} \end{cases}⇒设{K=−mkM=−mn
将K，M带入：
⇒得：y=Kx−M\Rightarrow 得： y=Kx-M⇒得：y=Kx−M

我们在高中数学中就学习过标准的椭圆方程如下：

x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1a2x2+b2y2=1

这个方程表示一个中心在坐标原点、长轴沿xxx轴d 长度为aaa，短轴沿yyy轴的轴长度为bbb的正椭圆（aaa > bbb > 0 的条件下），如下图所示：

一般来说，椭圆可以以任何一点为中心，也可以有与坐标轴不平行的轴。这样的椭圆总是可以从标准位置的椭圆开始，然后进行旋转和/或平移得到。对于一般性的公式，我们可以包括通过一个角度为0的旋转(即根本没有旋转)和通过零向量的平移(根本没有平移)来进行变换。也就是说，每一个椭圆都可以通过在标准位置上旋转和平移得到。因此，对椭圆的标准方程进行旋转和平移，可以得到任意椭圆的方程。

是旋转然后平移，还是相反，这是一个需要选择的问题。为了理解这个，让R表示一个旋转，考虑点x=(x,y)x=(x,y)x=(x,y)，会发生什么如果我们先平移向量vvv，然后应用 RRR。因为RRR是线性的，变换之后的结果为R(x+v)=Rx+RvR(x+v)=Rx+RvR(x+v)=Rx+Rv，然而这和先旋转xxx，然后用RvRvRv平移是一样的。这表明，每一个椭圆都可以从一个标准位置的椭圆中得到，要么是旋转后再平移，要么是平移后再旋转。在推导椭圆的一般方程时，我们将使用先旋转后平移的方法。

参考旋转矩阵的两种用法一文，我们使用极坐标工具，绕原点逆时针旋转，通过一个角ααα，很容易可以将(x,y)(x,y)(x,y)变成(xcosα−ysinα,ycosα+xsinα)(xcosα-ysinα,ycosα+xsinα)(xcosα−ysinα,ycosα+xsinα)。写成矩阵的形式为：
[uv]=[cosα−sinαsinαcosα][xy]\left[ \begin{array}{c} u\\ v\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} cos\alpha&−sin\alpha\\ sin\alpha&cos\alpha\\ \end{matrix}\right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right] [uv]=[cosαsinα−sinαcosα][xy]
它的逆运算可以通过旋转2π−α2π-α2π−α得到，因此将(u,v)(u,v)(u,v)变换为(xcosα+ysinα,ycosα−xsinα)(xcosα+ysinα,ycosα-xsinα)(xcosα+ysinα,ycosα−xsinα)。即：
[uv]=[cosαsinα−sinαcosα][xy]\left[ \begin{array}{c} u\\ v\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} cos\alpha&sin\alpha\\ -sin\alpha&cos\alpha\\ \end{matrix}\right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right][uv]=[cosα−sinαsinαcosα][xy]
事实上，这表明了一个定理，即对于旋转矩阵：
R−1=RTR^{-1}=R^TR−1=RT

应用变换椭圆方程的方法，可以得到以下方程，对于一个经过 θ\thetaθ角旋转的标准椭圆：
(xcosθ+ysinθ)2a2+(ycosθ−xsinθ)2b2=1\frac{\left( xcos\theta +ysin\theta \right) ^2}{a^2}+\frac{\left( ycos\theta -xsin\theta \right) ^2}{b^2}=1a2(xcosθ+ysinθ)2+b2(ycosθ−xsinθ)2=1

x2cos2θ+2xycosθsinθ+y2sin2θa2+y2cos2θ−2xysinθcosθ+x2sin2θb2=1\frac{x^2cos^2\theta +2xycos\theta sin\theta +y^2sin^2\theta}{a^2}+\frac{y^2cos^2\theta -2xysin\theta cos\theta +x^2sin^2\theta}{b^2}=1a2x2cos2θ+2xycosθsinθ+y2sin2θ+b2y2cos2θ−2xysinθcosθ+x2sin2θ=1

cos2θa2x2+sin2θb2x2+2cosθsinθa2xy−2sinθcosθb2xy+sin2θa2y2+cos2θb2y2=1\frac{cos^2\theta}{a^2}x^2+\frac{sin^2\theta}{b^2}x^2+\frac{2cos\theta sin\theta}{a^2}xy-\frac{2sin\theta cos\theta}{b^2}xy+\frac{sin^2\theta}{a^2}y^2+\frac{cos^2\theta}{b^2}y^2=1a2cos2θx2+b2sin2θx2+a22cosθsinθxy−b22sinθcosθxy+a2sin2θy2+b2cos2θy2=1

(cos2θa2+sin2θb2)x2+2sinθcosθ(1a2−1b2)xy+(sin2θa2+cos2θb2)y2=1\left( \frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2} \right) x^2+2sin\theta cos\theta \left( \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2} \right) xy+\left( \frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2} \right) y^2=1(a2cos2θ+b2sin2θ)x2+2sinθcosθ(a21−b21)xy+(a2sin2θ+b2cos2θ)y2=1

⇒设{A=cos2θa2+sin2θb2B=2sinθcosθ(1a2−1b2)C=sin2θa2+cos2θb2\Rightarrow \text{设}\begin{cases} \,A=\frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2}\\ B=2sin\theta cos\theta \left( \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2} \right)\\ C=\frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2}\\ \end{cases}⇒设⎩⎪⎨⎪⎧A=a2cos2θ+b2sin2θB=2sinθcosθ(a21−b21)C=a2sin2θ+b2cos2θ

则中心点在原点(0,0)(0,0)(0,0)做任意旋转的椭圆方程式可简化为：
Ax2+Bxy+Cy2=1Ax^2+Bxy+Cy^2=1Ax2+Bxy+Cy2=1

A−C可得：(cos2θa2+sin2θb2)−(sin2θa2+cos2θb2)A-C可得：\left( \frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2} \right) -\left( \frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2} \right) A−C可得：(a2cos2θ+b2sin2θ)−(a2sin2θ+b2cos2θ)

=b2cos2θa2b2+a2sin2θa2b2−b2sin2θa2b2−a2cos2θa2b2=\frac{b^2cos^2\theta}{a^2b^2}+\frac{a^2sin^2\theta}{a^2b^2}-\frac{b^2sin^2\theta}{a^2b^2}-\frac{a^2cos^2\theta}{a^2b^2}=a2b2b2cos2θ+a2b2a2sin2θ−a2b2b2sin2θ−a2b2a2cos2θ

=b2cos2θa2b2−a2cos2θa2b2+a2sin2θa2b2−b2sin2θa2b2=\frac{b^2cos^2\theta}{a^2b^2}-\frac{a^2cos^2\theta}{a^2b^2}+\frac{a^2sin^2\theta}{a^2b^2}-\frac{b^2sin^2\theta}{a^2b^2}=a2b2b2cos2θ−a2b2a2cos2θ+a2b2a2sin2θ−a2b2b2sin2θ

=(b2cos2θa2b2−a2cos2θa2b2)−(b2sin2θa2b2−a2sin2θa2b2)=\left(\frac{b^2cos^2\theta}{a^2b^2}-\frac{a^2cos^2\theta}{a^2b^2}\right)-\left( \frac{b^2sin^2\theta}{a^2b^2}-\frac{a^2sin^2\theta}{a^2b^2} \right) =(a2b2b2cos2θ−a2b2a2cos2θ)−(a2b2b2sin2θ−a2b2a2sin2θ)

=cos2θ(b2−a2)−sin2θ(b2−a2)a2b2=\frac{cos^2\theta \left( b^2-a^2 \right) -sin^2\theta \left( b^2-a^2 \right)}{a^2b^2}=a2b2cos2θ(b2−a2)−sin2θ(b2−a2)

=(cos2θ−sin2θ)(b2−a2)a2b2=\frac{\left( cos^2\theta -sin^2\theta \right) \left( b^2-a^2 \right)}{a^2b^2}=a2b2(cos2θ−sin2θ)(b2−a2)

B通分后可得：2sinθcosθ(b2−a2)a2b2B通分后可得：\frac{2sin\theta cos\theta \left( b^2-a^2 \right)}{a^2b^2}B通分后可得：a2b22sinθcosθ(b2−a2)

A−CB为：(cos2θ−sin2θ)(b2−a2)a2b2×a2b22sinθcosθ(b2−a2)=cos2θ−sin2θ2sinθcosθ\frac{A-C}{B}为：\frac{\left( cos^2\theta -sin^2\theta \right) \left( b^2-a^2 \right)}{a^2b^2}\times \frac{a^2b^2}{2sin\theta cos\theta \left( b^2-a^2 \right)}=\frac{cos^2\theta -sin^2\theta}{2sin\theta cos\theta}BA−C为：a2b2(cos2θ−sin2θ)(b2−a2)×2sinθcosθ(b2−a2)a2b2=2sinθcosθcos2θ−sin2θ

根据三角函数二倍角公式：
{sin⁡2θ=2sinθcosθcos⁡2θ=cos2θ−sin2θ\begin{cases} \sin 2\theta =2sin\theta cos\theta\\ \cos 2\theta =cos^2\theta -sin^2\theta\\ \end{cases} {sin2θ=2sinθcosθcos2θ=cos2θ−sin2θ
可得：
cot(2θ)=A−CBcot\left( 2\theta \right) =\frac{A-C}{B}cot(2θ)=BA−C

然后，再次使用坐标旋转变换公式，即可得到椭圆的长短轴信息，参考Rotated Conic Section Identifying这个视频；

通过上述求证，则可以得到，将椭圆中心点平移到(x′,y′)\left( x',y' \right)(x′,y′)，并且以(x′,y′)\left( x',y' \right)(x′,y′)为中心的旋转椭圆的一般方程为：
A(x−x′)2+B(x−x′)(y−y′)+C(y−y′)2=1A\left( x-x' \right) ^2+B\left( x-x' \right) \left( y-y' \right) +C\left( y-y' \right) ^2=1A(x−x′)2+B(x−x′)(y−y′)+C(y−y′)2=1
将方程式进一步拆解：

A(x2−2xx′+x′2)+B(xy−xy′−x′y+x′y′)+C(y2−2yy′+y′2)=1A\left( x^2-2xx'+x'^2 \right) +B\left( xy-xy'-x'y+x'y' \right) +C\left( y^2-2yy'+y'^2 \right) =1A(x2−2xx′+x′2)+B(xy−xy′−x′y+x′y′)+C(y2−2yy′+y′2)=1

Ax2−2Axx′+Ax′2+Bxy−Bxy′−Bx′y+Bx′y′+Cy2−2Cyy′+Cy′2=1Ax^2-2Axx'+Ax'^2+Bxy-Bxy'-Bx'y+Bx'y'+Cy^2-2Cyy'+Cy'^2=1Ax2−2Axx′+Ax′2+Bxy−Bxy′−Bx′y+Bx′y′+Cy2−2Cyy′+Cy′2=1

Ax2+Bxy+Cy2−(2Ax′+By′)x−(2Cy′+Bx′)y+(Ax′2+Bx′y′+Cy′2)=1Ax^2+Bxy+Cy^2-\left( 2Ax'+By' \right) x-\left( 2Cy'+Bx' \right) y+\left( Ax'^2+Bx'y'+Cy'^2 \right) =1Ax2+Bxy+Cy2−(2Ax′+By′)x−(2Cy′+Bx′)y+(Ax′2+Bx′y′+Cy′2)=1
最终椭圆的通用方程式为：
x2+BAxy+CAy2−(2x′+BAy′)x−(2CAy′+BAx′)y+(x′2+BAx′y′+CAy′2−1A)=0x^2+\frac{B}{A}xy+\frac{C}{A}y^2-\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-\left( 2\frac{C}{A}y'+\frac{B}{A}x' \right) y+\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0x2+ABxy+ACy2−(2x′+ABy′)x−(2ACy′+ABx′)y+(x′2+ABx′y′+ACy′2−A1)=0

将直线方程式与通用椭圆方程式联立求解：
{y=Kx+Mx2+BAxy+CAy2−(2x′+BAy′)x−(2CAy′+BAx′)y+(x′2+BAx′y′+CAy′2−1A)=0\begin{cases} y=Kx+M\\ x^2+\frac{B}{A}xy+\frac{C}{A}y^2-\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-\left( 2\frac{C}{A}y'+\frac{B}{A}x' \right) y+\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0\\ \end{cases}{y=Kx+Mx2+ABxy+ACy2−(2x′+ABy′)x−(2ACy′+ABx′)y+(x′2+ABx′y′+ACy′2−A1)=0

x2+BAx(Kx+M)+CA(Kx+M)2−(2x′+BAy′)x−(2CAy′+BAx′)(Kx+M)+(x′2+BAx′y′+CAy′2−1A)=0x^2+\frac{B}{A}x\left( Kx+M \right) +\frac{C}{A}\left( Kx+M \right) ^2-\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-\left( 2\frac{C}{A}y'+\frac{B}{A}x' \right) \left( Kx+M \right) +\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0x2+ABx(Kx+M)+AC(Kx+M)2−(2x′+ABy′)x−(2ACy′+ABx′)(Kx+M)+(x′2+ABx′y′+ACy′2−A1)=0

x2+BAKx2+BAMx+CA(K2x2+2KMx+M2)−(2x′+BAy′)x−(2CAKxy′+2CAMy′+BAKxx′+BAMx′)+(x′2+BAx′y′+CAy′2−1A)=0x^2+\frac{B}{A}Kx^2+\frac{B}{A}Mx+\frac{C}{A}\left( K^2x^2+2KMx+M^2 \right) -\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-\left( 2\frac{C}{A}Kxy'+2\frac{C}{A}My'+\frac{B}{A}Kxx'+\frac{B}{A}Mx' \right) +\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0x2+ABKx2+ABMx+AC(K2x2+2KMx+M2)−(2x′+ABy′)x−(2ACKxy′+2ACMy′+ABKxx′+ABMx′)+(x′2+ABx′y′+ACy′2−A1)=0

x2+BAKx2+BAMx+CAK2x2+2CAKMx+CAM2−(2x′+BAy′)x−2CAKy′x−2CAMy′−BAKx′x−BAMx′+(x′2+BAx′y′+CAy′2−1A)=0x^2+\frac{B}{A}Kx^2+\frac{B}{A}Mx+\frac{C}{A}K^2x^2+2\frac{C}{A}KMx+\frac{C}{A}M^2-\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-2\frac{C}{A}Ky'x-2\frac{C}{A}My'-\frac{B}{A}Kx'x-\frac{B}{A}Mx'+\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0x2+ABKx2+ABMx+ACK2x2+2ACKMx+ACM2−(2x′+ABy′)x−2ACKy′x−2ACMy′−ABKx′x−ABMx′+(x′2+ABx′y′+ACy′2−A1)=0

(1+BAK+CAK2)x2+(BAM+2CAKM−2x′−BAy′−2CAKy′−BAKx′)x+(CAM2−2CAMy′−BAMx′+x′2+BAx′y′+CAy′2−1A)=0\left( 1+\frac{B}{A}K+\frac{C}{A}K^2 \right) x^2+\left( \frac{B}{A}M+2\frac{C}{A}KM-2x'-\frac{B}{A}y'-2\frac{C}{A}Ky'-\frac{B}{A}Kx' \right) x+\left( \frac{C}{A}M^2-2\frac{C}{A}My'-\frac{B}{A}Mx'+x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0(1+ABK+ACK2)x2+(ABM+2ACKM−2x′−ABy′−2ACKy′−ABKx′)x+(ACM2−2ACMy′−ABMx′+x′2+ABx′y′+ACy′2−A1)=0

最终得到一元二次方程式为：
(A+BK+CK2)x2+(BM+2CKM−2Ax′−By′−2CKy′−BKx′)x+(CM2−2CMy′−BMx′+Ax′2+Bx′y′+Cy′2−1)=0\left( A+BK+CK^2 \right) x^2+\left( BM+2CKM-2Ax'-By'-2CKy'-BKx' \right) x+\left( CM^2-2CMy'-BMx'+Ax'^2+Bx'y'+Cy'^2-1 \right) =0(A+BK+CK2)x2+(BM+2CKM−2Ax′−By′−2CKy′−BKx′)x+(CM2−2CMy′−BMx′+Ax′2+Bx′y′+Cy′2−1)=0

综合前期
⇒记{K=−kmM=−nm\Rightarrow \text{记}\begin{cases} K=-\frac{k}{m}\\ M=-\frac{n}{m} \end{cases}⇒记{K=−mkM=−mn

⇒记{A=cos2θa2+sin2θb2B=2sinθcosθ(1a2−1b2)C=sin2θa2+cos2θb2\Rightarrow \text{记}\begin{cases} \,A=\frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2}\\ B=2sin\theta cos\theta \left( \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2} \right)\\ C=\frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2}\\ \end{cases}⇒记⎩⎪⎨⎪⎧A=a2cos2θ+b2sin2θB=2sinθcosθ(a21−b21)C=a2sin2θ+b2cos2θ

椭圆中心点坐标(x′,y′)\left( x',y' \right)(x′,y′)

以上所述以及结合韦达定理，可得直线与任意椭圆交点：

韦达定理{ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)x1=−b+b2−4ac2a；x2=−b−b2−4ac2aΔ=b2−4ac{Δ>0方程有两个不相等的实根Δ=0方程有两个相等的实根Δ<0方程有两个复根x1+x2=−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a=−bax1⋅x2=−b+b2−4ac2a×−b−b2−4ac2a=ca韦达定理\begin{cases} ax^2+bx+c=0\left( a,b,c\in R,a\ne 0 \right)\\ x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{；}x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Delta =b^2-4ac\\ \begin{cases} \Delta >0& \text{方程有两个不相等的实根}\\ \Delta =0& \text{方程有两个相等的实根}\\ \Delta <0& \text{方程有两个复根}\\ \end{cases}\\ x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{c}{a}\\ \end{cases} 韦达定理⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a=0)x1=2a−b+b2−4ac；x2=2a−b−b2−4acΔ=b2−4ac⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0Δ=0Δ<0方程有两个不相等的实根方程有两个相等的实根方程有两个复根x1+x2=2a−b+b2−4ac+2a−b−b2−4ac=−abx1⋅x2=2a−b+b2−4ac×2a−b−b2−4ac=ac

2021-7-10 完结！

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