opencv求解两条直线的交点

假设现在有一个点集，需要拟合出最能够表达点集轮廓的几条直线，并求直线之间的交点。
从点集中拟合直线可以采用的方法：随机抽样一致性（RANSAC）,霍夫变换（though transform）

思路1

利用点斜式表达直线，然后求解两条直线组成的方程组。
{y=k1∗x+b1y=k2∗x+b2\begin{cases} y = k1 * x + b1 \\ y = k2 * x + b2 \end{cases} {y=k1∗x+b1y=k2∗x+b2

缺点
通过比较两条直线的斜率来判断两条直线是否平行，但是直线垂直时，斜率无穷大，无法比较两条直线。

 /** @brief 计算直线的交点@param lines 直线：Vec4d=(vx, vy, x0, y0), where (vx, vy) is a normalized vector collinear to the line and (x0, y0) is a point on the line.@param crossPoints 保存直线的交点@param mask 掩膜*/void crossPointsOfLines(std::vector<cv::Vec4d>& lines, std::vector<cv::Point2f> &crossPoints, int nPoints, cv::Mat& mask){crossPoints.clear();for (int i = 0; i < lines.size() && crossPoints.size() < nPoints; i++){for (int j = i + 1; j < lines.size() && crossPoints.size() < nPoints; j++){float ka = (float)lines.at(i)[1] / float(lines.at(i)[0] + 0.000001f);//slope of LineA float kb = (float)lines.at(j)[1] / float(lines.at(j)[0] + 0.000001f);//slope of LineB//if (std::abs(std::abs(ka) - std::abs(kb)) > 1.0) //two lines are not probably parallelif ((std::abs(ka) > 1) && (std::abs(kb) < 1) || (std::abs(ka) < 1) && (std::abs(kb) > 1))//two lines are not probably parallel{cv::Point2d ptA(lines.at(i)[2], lines.at(i)[3]);cv::Point2d ptB(lines.at(j)[2], lines.at(j)[3]);cv::Point2f crossPoint;crossPoint.x = float(ka*ptA.x - ptA.y - kb*ptB.x + ptB.y) / float(ka - kb);crossPoint.y = float(ka*kb*(ptA.x - ptB.x) - kb*ptA.y + ka*ptB.y) / float(ka - kb);crossPoints.push_back(crossPoint);
#ifdef _DEBUGcv::circle(mask, crossPoint, 2, cv::Scalar(0, 0, 255), -1, cv::FILLED);
#endif}}}if (crossPoints.size() < nPoints){LOG(ERROR) << type() << "::crossPointsOfLines: " << "cross points is less than parameter nPoints.";}}

本函数使用的直线是opencv函数fitline从点集中拟合出来的直线，通过平行向量（vx,vy）和一个点（x，y）来表示直线。
本函数主要应用于两条直线平行或者垂直的情况，所以我通过斜率是否大于1，判断是否平行。严格来说并不正确，所有没有复用性。

思路2

使用通用的直线表达方法，然后求解方程组。
{a1∗x+b1∗y=c1a2∗x+b2∗y=c2\begin{cases} a1 * x + b1 *y = c1 \\ a2 * x + b2 *y = c2 \end{cases} {a1∗x+b1∗y=c1a2∗x+b2∗y=c2

输入直线为：Vec4d=(vx, vy, x0, y0)，即 x−x0y−y0=VxVy\frac{x - x0}{y-y0} =\frac{ Vx}{Vy}y−y0x−x0=VyVx ,求解方程组可得交点。
通过方向向量判断直线是否垂直，避免斜率无穷大的情况。

缺点
提前判断，代码比较乱；

 /** @brief 计算直线的交点@param lines 直线：Vec4d=(vx, vy, x0, y0), where (vx, vy) is a normalized vector collinear to the line and (x0, y0) is a point on the line.@param crossPoints 保存直线的交点@param mask 掩膜*/
bool crossPointsOfLines(std::vector<cv::Vec4d>& lines, std::vector<cv::Point2f> &crossPoints, int nPoints, cv::Mat& mask)
{crossPoints.clear();for (int i = 0; i < lines.size() && crossPoints.size() < nPoints; i++){const cv::Vec4d lineA = lines.at(i);bool isVecticalA = std::abs(lineA[0]) < 0.02;bool isHorizontalA = std::abs(lineA[1]) < 0.02;for (int j = i + 1; j < lines.size() && crossPoints.size() < nPoints; j++){const cv::Vec4d lineB = lines.at(j);bool isVecticalB = std::abs(lineB[0]) < 0.02;bool isHorizontalB = std::abs(lineB[1]) < 0.02;if ((isVecticalA && isVecticalB) || (isHorizontalA && isHorizontalB) )//两条线都垂直，或者平行{continue;}cv::Point2f crossPoint;auto calcB = [&lines](int index)->double {return  lines.at(index)[0] * lines.at(index)[3] - lines.at(index)[1] * lines.at(index)[2];// B = Vx * Y - Vy * X};//auto calcCrossPoint = [&](int vIndex)->cv::Point2f { //};if (isVecticalA ){crossPoint.x = lineA[2];  // x = -( Vx * Y - Vy * X)= Xif (isHorizontalB){crossPoint.y = lineB[3];  // y = Vx * Y - Vy * X = Y}else{crossPoint.y = (calcB(j) + lineB[1] * crossPoint.x) / lineB[0]; // y = (B + Vy * x)/ Vx}crossPoints.push_back(crossPoint);}else if (isVecticalB){crossPoint.x = lineB[2];  // x = -( Vx * Y - Vy * X) = Xif (isHorizontalA){crossPoint.y = lineA[3];  // y = Vx * Y - Vy * X = Y}else{crossPoint.y = (calcB(i) + lineA[1] * crossPoint.x) / lineA[0]; // y = (B + Vy * x)/ Vx}crossPoints.push_back(crossPoint);}else{float det = (lineA[0] * lineB[1] - lineB[0] * lineA[1]);crossPoint.x = (lineB[0] * calcB(i) - lineA[0] * calcB(j)) / det;crossPoint.y = (lineB[1] * calcB(i) - lineA[1] * calcB(j)) / det;crossPoints.push_back(crossPoint);}
#ifdef _DEBUGcv::circle(mask, crossPoint, 2, cv::Scalar(0, 0, 255), -1, cv::FILLED);
#endif}}if (crossPoints.size() < nPoints){return false;}return true;
}

思路三

使用矩阵来表达直线组成的方程组，矩阵无解的情况就对应直线平行。
两条直线组成方程组
{a1∗x+b1∗y=c1a2∗x+b2∗y=c2\begin{cases} a1 * x + b1 *y = c1 \\ a2 * x + b2 *y = c2 \end{cases} {a1∗x+b1∗y=c1a2∗x+b2∗y=c2
求解得
{x=c1∗b2−c2∗b1a1∗b2−a2∗b1y=a1∗c2−a2∗c1a1∗b2−a2∗b1\begin{cases} x = \frac{c1*b2 - c2*b1}{a1*b2-a2*b1} \\ y = \frac{a1*c2 - a2*c1}{a1*b2-a2*b1} \end{cases} {x=a1∗b2−a2∗b1c1∗b2−c2∗b1y=a1∗b2−a2∗b1a1∗c2−a2∗c1

即
D=∣a1b1a2b2∣D1=∣c1b1c2b2∣D2=∣a1c1a2c2∣D = \left| \begin{array} {ccc} a1&b1\\ a2&b2 \end{array} \right| \\ D1 = \left| \begin{array} {ccc} c1&b1\\ c2&b2 \end{array} \right| \\ D2 = \left| \begin{array} {ccc} a1&c1\\ a2&c2 \end{array} \right| D=∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣∣D1=∣∣∣∣c1c2b1b2∣∣∣∣D2=∣∣∣∣a1a2c1c2∣∣∣∣

x=D1Dy=D2Dx = \frac{D1}{D} y = \frac{D2}{D} x=DD1y=DD2

void crossPointsOfLines(std::vector<cv::Vec4d>& lines, std::vector<cv::Point2f> &crossPoints)
{for (int i = 0; i < lines.size(); i++){const cv::Vec4d& lineA = lines.at(i);for (int j=i+1;j < lines.size();j++){const cv::Vec4d& lineB = lines.at(j);//double cos = lineA[0] * lineB[0] + lineA[1] * lineB[1];// cos a = A^T * B ;A,B为单位向量 //if (std::abs(cos) > 0.99 ) // 两条直线几乎平行，没有交点//{// continue;//}// linaA: a1 * x + b1 * y = c1// linaB: a2 * x + b2 * y = c2float a1 = -lineA[1];float b1 = lineA[0];float c1 = lineA[0] * lineA[3] - lineA[1] * lineA[2];float a2 = -lineB[1];float b2 = lineB[0];float c2 = lineB[0] * lineB[3] - lineB[1] * lineB[2];/*        | a1 b1 |            | c1 b1 |       | a1 c1 |D = | a2 b2 |       D1 = | c2 b2 |  D2 = | a2 c2 |*/ float Det = a1*b2 - a2 *b1;float Det1 = c1*b2 - c2*b1;float Det2 = a1*c2 - a2*c1;if (std::abs(Det) < 0.001) //两条直线平行，方程组无解{continue;}cv::Point2f pt = { Det1 / Det, Det2 / Det };crossPoints.push_back(pt);}}
}

参考文献

OpenCV找任意两条直线的交点
OpenCV找直线及直线的交点
随机抽样一致性算法（ransac）

求取两条直线的交点坐标

谈谈"求线段交点"的几种算法(js实现,完整版)

在OpenCV中求解两条直线的交点

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