NOIP2014P4 子矩阵题解

（题目描述略）

此题虽数据范围较小，但单纯的搜索算法仍不免超时。提高时间效率的办法仍然是以空间换时间，枚举行，预处理出子矩阵相邻元素的差值，再用动态转移求出选定行的分值最小的子矩阵。几乎多数基于二维矩阵的极值问题都可以用这种方法求解。

若选定的行数记为row[i] (i=[0,r))，选定行数第i列和第j列元素之差记为tempx[i][j] (i,j=[0,m)且i < j)，第i列选定行数相邻行元素之差的和记为tempy[i] (i=[0,m))，设f[i][j]为前i+1列取j+1列且必取第i列的最小分值，边界f[0][0]=tempy[0]，则动态转移方程如下：

f[0][0]=tempy[0]
f[i][i]=f[i-1][i-1]+tempx[i-1][i]+tempy[i] (i=(0,m))
f[i][j]=max(f[k][j-1]+tempx[k][i]+tempy[i]) (k=[j-1,i))

代码如下：

#include"stdio.h"
int f[20][20],matrix[20][20],n,r,row[20],tempx[20][20],tempy[20];
int abs(int x)
{return x<0?-x:x;
}
bool next()//求下一个行组合，不存在则返回true
{int t;for(t=r-1;t>=0;t--)if(row[t]<n-r+t)break;if(t<0)return true;for(row[t++]++;t<r;t++)row[t]=row[t-1]+1;return false;
}
int main()
{freopen("submatrix.in","r",stdin);freopen("submatrix.out","w",stdout);int ans=-1,c,m;scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&r,&c);for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&matrix[i][j]);for(int i=0;i<r;i++)row[i]=i;//初始化行while(true){for(int i=0;i<m;i++){tempy[i]=0;for(int j=i+1;j<m;j++){tempx[i][j]=0;for(int k=0;k<r;k++)tempx[i][j]+=abs(matrix[row[k]][i]-matrix[row[k]][j]);}for(int j=1;j<r;j++)tempy[i]+=abs(matrix[row[j-1]][i]-matrix[row[j]][i]);}//预处理，求tempx和tempyf[0][0]=tempy[0];for(int i=1;i<m;i++){f[i][i]=f[i-1][i-1]+tempx[i-1][i]+tempy[i];for(int j=i-1;j>0;j--){f[i][j]=f[j-1][j-1]+tempx[j-1][i]+tempy[i];for(int k=j;k<i;k++)if(f[i][j]>f[k][j-1]+tempx[k][i]+tempy[i])f[i][j]=f[k][j-1]+tempx[k][i]+tempy[i];}f[i][0]=tempy[i];if(i>=c-1&&(ans==-1||ans>f[i][c-1]))ans=f[i][c-1];}if(next())break;}printf("%d",ans);return 0;
}

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