使用Python玩转高等数学(2)：幂函数

幂函数的公式如下：

y = x^a

a是实数，函数的定义域要看a的取值而定。当a取任何实数时，函数在(0,+∞)区间内总有定义；当a>0时，函数在[0,+∞)区间内总有定义。

y = x，y=x^2，y=x^3，y=x^1/2，y=x^-1是最常见的幂函数，下面分别探讨它们的图像和性质。

绘制函数图像要使用sympy库，sympy库是一个计算机代数系统，它支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计等方面的功能。

在使用之前需要安装sympy库，最简单的安装方法就是在shell窗口运行pip3 install sympy命令。

例1 y = x的图像和性质

绘制y = x函数图像：

# 导入sympy库from sympy import symbols,sin,plot# 定义幂函数def func(x,y):   return x**y# 定义数学符号x,yx=symbols('x')y=symbols('y')# 生成y=x函数公式f1=func(x,1)# 绘制图形plot(f1,(x,-10,10))

代码解读

函数公式是由数学符号、运算符和数值构成的，sympy在绘制函数图像时，需要描述函数公式，定义公式中用到的数学符号。sympy库的symbols函数可以定义数学符号，在代码中分别定义了数学符号x和y，x为幂函数的底数，y为幂函数的指数。

函数func用来描述幂函数公式，直接返回幂函数的公式。

plot是绘制图形的函数，它可以传入多个函数公式，(x,-10,10)是一个元组，用于定义函数自变量的区间，这里定义了变量x的区间为[10,10]。

绘制的y=x函数图像如下所示：

观察y=x函数图像，该图像是一条过原点的直线，函数的定义域和值域均为全体实数，函数关于原点对称，是奇函数，图中直线呈上升趋势，函数单调增加。

例2 y=x^2的图像和性质

修改例1的程序代码，将语句：

f1=func(x,1)

修改为：

f1=func(x,2)

运行程序，可得到y=x^2的函数图像。

观察y=x^2函数图像，该图像的定义域是全体实数，值域是[0, +∞)。函数关于Y轴对称，是偶函数。函数在第二象限是单调递减(-∞,0]，函数在第一象限是单调增加[0, +∞)。

例3 y=x^3的图像和性质

修改例1的程序代码，将语句：

f1=func(x,1)

修改为：

f1=func(x,3)

运行程序，可得到y=x^3的函数图像。

观察y=x^3函数图像，函数关于原点对称，是奇函数，函数的定义域和值域都是全体实数，函数单调增加。

例4 y=x^1/2的图像和性质

修改例1的程序代码，将语句：

f1=func(x,1)

修改为：

f1=func(x,1/2)

运行程序，可得到y=x^1/2的函数图像。

观察y=x^1/2函数图像，函数的定义域和值域都为区间[0, +∞)，函数没有对称性，是非奇非偶函数，在区间[0, +∞)为单调增加。

例5 y=x^-1的图像和性质

绘制y=x^-1的图像，需要稍微修改例1的代码，主要是修改绘图X变量取值区间，因为y=x^-1函数不允许变量X为0。

# 导入sympy库from sympy import symbols,sin,plot# 定义幂函数def func(x,y):   return x**y# 定义数学符号x,yx=symbols('x')y=symbols('y')# 生成y=x函数公式f1=func(x,-1)# 绘制图形plot((f1,(x,0.1,10)),(f1,(x,-10,-0.1)))

代码解读

代码主要修改了plot函数传入的参数，选择变量x的不同区间绘制函数图像，若需要plot绘制不同区间的函数，可以对每个函数公式定义一个区间。

观察y=x^-1函数图像，函数图像分成两部分，分别在第一象限和第三象限。函数的定义域为不能等于0的实数，值域为不能等于0的实数，函数关于原点对称，是奇函数。函数在（-∞,0）和（0,+∞）上是递减函数。

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