定积分的基本概念

什么是定积分？

如何深入的理解定积分？

如何计算定积分?

在matlab中计算定积分。

不定积分

在matlab中计算不定积分

在matlab中计算定积分

本期回顾

定积分的基本概念

什么是定积分？

简而言之，我们可以理解为是面积。比如：

上图中，假设A>0，B>0，且A是绿色区域的面积，B是红色区域的面积，那么在定积分中，我们就可以这样表述：

$A = \int_{a}^{b}f(x)dx$ ，并且 $-B = \int_{a}^{b}h(x)dx$ 。

注意：由于 h(x)处于X轴下方，我们规定，处于X轴下方的部分，定积分为负值。因为B>0，所以前面有负号。

如何深入的理解定积分？

对于上面的图，对于区域A，它的形状是一个曲边梯形，我们求他的面积，可以利用这个思想：

1. 将区间 [a, b] 平均分为 n 份，当 n 趋于无穷大时，每一份的宽度就无穷小，是： $\frac{b - a}{n}$ ，a和b肯定是常数，而n趋于无穷大，这个时候每一份的宽度无限接近于0。如图(当然实际情况是很小的，在图中我们意思意思就行了)：

我们取每一小块的左边作为高（其实取哪里都行，每一块的宽度已经无限接近于0了，左边右边的高度肯定就差不多了。比如：地球是一个球体，我们脚下还是平的，因为我们的宽度相对于总宽度太小了，微不足道。），假设宽度是dx，我们就可以得到其中某一块的面积：dA = f( $x_{0}$ )dx，其中 $x_{0}$ 是某一块的左边的x的坐标，我们把这一小块单独拿出来是这样的：

因为被分成了无穷多份，所以上面是平的，就是平的，当我们把所有的方块的面积全部累加，就能得到整个区域的面积，这个时候就推导出了积分公式： $A = \int_{a}^{b}f(x)dx$ 。

如何计算定积分?

在手动计算中，目前最通用的方法（我个人认为，不代表数学界）是先找到一个F(x)，使F(x)求导后等于f(x)，这个时候：

A = F(A) - F(B)（牛顿-莱布尼茨公式）

比如，计算 $\int_{0}^{10}xdx = 1/2*10^2 - 1/2 * 0^2 = 50$ 。

在matlab中计算定积分。

不定积分

简单来说，计算定积分需要有很好的不定积分的功底，不定积分就是：计算一个F(x)，使F(x)求到后等于f(x)，那么称F(x)是f(x)的一个原函数（注意，是一个原函数，因为原函数不唯一，并且所有原函数之间相差一个常数C）。

即： $F(x)+C = \int f(x) dx$ 。

注：不定积分和定积分不仅仅是相差了个上下限，他们的性质也截然不同，最大的区别是：

$\int f(x) dx \neq \int f(t) dt \neq \int f(u) du \cdot \cdot \cdot \cdot$ ，不定积分中，这个字母变了，说明函数就变了，就不等，但是在定积分中：

$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(t) dt = \int_{a}^{b} f(u) du \cdot \cdot \cdot \cdot$ ，定积分本质是一个数，所以和字母无关。

在matlab中计算不定积分

在matlab中，计算一个不定积分非常简单：

%%计算不定积分clc; clear;syms x; % 定义一个符号，x。f = 'x'; % 定义一个原函数F = int(f, x); % 计算不定积分disp(F); % 显示原函数

没错，就是这个int函数即可，下面逐句讲解代码：

syms x; 定义一个符号x，代表我们函数中的变量的名字，比如：y = 2x中的x就是变量。

f = 'x'; 这句话就是声明了个字符串，没什么特别之处。

F = int(f, x); int函数是计算积分的函数，第一个参数是函数字符串，第二个参数是变量的符号

如果我们定义的符号是t，即(syms t;)，我们下面就需要写f = 't'，F = int(f, t)。。。。。

int函数将计算结果以字符串形式返回，我们用一个变量接收，同时disp显示到屏幕上，我们就能看到输出的结果：

很容易验证，x的一个原函数就是x^2/2。（这个int函数只返回一个原函数，如果需要其他的自行加上常数即可）。

在matlab中计算定积分

计算定积分时，和不定积分一样简单，代码只需改动少量即可：

%%计算定积分clc; clear;syms x; % 定义一个符号，x。f = 'x'; % 定义一个原函数F = int(f, x, 0, 10); % 计算不定积分disp(F); % 显示原函数

与计算不定积分唯一的区别就是函数不同，在定积分中，int的参数列表是这样的：

1. 函数

2. 变量符号

3. 下限

4. 上限

其实这个代码计算的定积分就是我们在定积分介绍里面手动计算的定积分，来看看代码计算的答案吧：

看来代码计算是没错，下面看看反映到图片里面的这个面积：

本期回顾

本期我们学了下面的知识点：

定积分的基本概念
定积分的几何意义
不定积分的计算
定积分的计算
在matlab中计算定积分和不定积分

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不定积分

在matlab中计算不定积分

在matlab中计算定积分

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