floyd-warshall算法浅理解

相比于矩阵乘法，floyd巧妙利用了最短路具有最优子结构的性质，即最短路径的子路径也是最短路径，得到以 d i j ( k ) d_{ij}^{(k)} dij(k)（为从i到j的一条中间节点全部取自集合 { 1 , 2 , . . . , k } \{1,2,...,k\} {1,2,...,k}的一条最短路径权重）为状态的转移方程，减少每次迭代的计算量，而且迭代过程只需保存两个矩阵 D ( k ) D^{(k)} D(k)和 D ( k + 1 ) D^{(k+1)} D(k+1)，这也允许我们方便地进行手工验证。

求 D i j ( k + 1 ) D^{(k+1)}_{ij} Dij(k+1)时，仅对应floyd算法的一步松弛 D i j ( k + 1 ) = m i n ( D i j ( k ) , D i k ( k ) + D k j ( k ) ) D^{(k+1)}_{ij}=min(D^{(k)}_{ij},D^{(k)}_{ik}+D^{(k)}_{kj}) Dij(k+1)=min(Dij(k),Dik(k)+Dkj(k))，就是找到前一个矩阵的第 i i i行第 k + 1 k+1 k+1个元素以及第 j j j列第 k + 1 k+1 k+1个元素求和和 “十字” 中心元素比大小。

举个例子，如图， D 45 ( 1 ) D_{45}^{(1)} D45(1)更新为 -2，因为 D 45 ( 0 ) > D 4 k ( 0 ) + D k 5 ( 0 ) D_{45}^{(0)}>D_{4k}^{(0)}+D_{k5}^{(0)} D45(0)>D4k(0)+Dk5(0)，此时 k = 1 k=1 k=1，找到 D 41 ( 0 ) D_{41}^{(0)} D41(0)和 D 15 ( 0 ) D_{15}^{(0)} D15(0).

由于矩阵共有 n 2 n^2 n2个元素，floyd做到了 O ( n ) O(n) O(n)求每个元素，按老师的话说，别人很难想到，因此，前面的矩阵乘法方法叫矩阵乘法求全源最短路，而这个算法用floyd的名字命名。

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