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编程金融小白学 股票期权

希腊字母 II

• 运用希腊字母 是对期权 比较静态的敏感分析

• 含义：其他条件不变，（某因素）变化一单位，期权价格大概变化多少？

  • 标的资产价格: Delta (Δ)(\Delta)(Δ)
  • 时间: Theta (Θ)(\Theta)(Θ)
  • 隐含波动率: Vega (ϑ)(\vartheta)(ϑ) T
  • 利率: Rho (r)(r)(r)

• Gamma (γ)(\gamma)(γ): 标的价格变动1单位时，Delta Δ\DeltaΔ 变多少？

波动率 Sigma (σ)(\sigma)(σ)

• 详情 请看 隐含波动率

Delta (Δ)(\Delta)(Δ) — 标的资产价格

• 标的资产价格变化一单位，期权价格大概变化多少？

• 例：

  • Delta = 0.3141 意味着
  • 如果指数上涨 10 点，期权价格大概上涨 3.141点

• Δ=∂c∂S\Delta = \frac{\partial c}{\partial S}Δ=∂S∂c​

• 期权价格曲线切线斜率（动态时变）

• (无红利欧式期权) Delta 的4个特征：

特征 I

标的价格	看涨多头	看涨空头	看跌多头	看跌空头
区间	0<Δ<10<\Delta<10<Δ<1	符号相反	−1<Δ<0-1<\Delta<0−1<Δ<0	符号相反
虚值	Δ→0\Delta\to0Δ→0	Δ→0\Delta\to0Δ→0	Δ→0\Delta\to0Δ→0	Δ→0\Delta\to0Δ→0
平价	Δ≈0.5\Delta\approx0.5Δ≈0.5	Δ≈−0.5\Delta\approx-0.5Δ≈−0.5	Δ≈−0.5\Delta\approx-0.5Δ≈−0.5	Δ≈0.5\Delta\approx0.5Δ≈0.5
实值	Δ→1\Delta\to1Δ→1	Δ→−1\Delta\to-1Δ→−1	Δ→−1\Delta\to-1Δ→−1	Δ→1\Delta\to1Δ→1
图像

特征 II

• PCP 平价原理
  • 看涨期权Delta=看跌期权Delta+1看涨期权 Delta = 看跌期权 Delta + 1看涨期权Delta=看跌期权Delta+1

c+X1+r(T−t)=p+S→∂c∂S=∂p∂S+1c + \frac{X}{1+r(T-t)}=p+S \to \frac{\partial c}{\partial S}= \frac{\partial p}{\partial S}+1c+1+r(T−t)X​=p+S→∂S∂c​=∂S∂p​+1

• 如图，可以看出来 他们的Delta 相差1

特征 III

• 快到期时，实值、虚值、和平值期权的Delta 差异比较大
  • 剩余期限比较大的话 时间价值比较大 它的期权价格曲线相对平滑，所以它的切线斜率比较小

看涨	看跌

特征 IV

• 波动率较低时，实值、虚值、和平值期权的Delta 差异比较大
  • 原理与特征 III 相同

看涨	看跌

证券组合的 Delta 值

头寸	Delta	例子(N为数量)
现货多头	1	4单位: 4×1=44\times 1 =44×1=4
现货空头	-1	3单位: 3×−1=−33\times -1 =-33×−1=−3
期货多头	1	2单位: 2×1=22\times 1 =22×1=2
现货多头	-1	5单位: 5×−1=−55\times -1 =-55×−1=−5
欧式看涨期权多头 (无红利)	0<Δ<10<\Delta<10<Δ<1	5单位多头，每单位Delta为0.5: 5×0.5=2.55\times 0.5 =2.55×0.5=2.5
欧式看涨期权空头 (无红利)	−1<Δ<0-1<\Delta<0−1<Δ<0	4单位空头，每单位Delta为-0.4: 4×−0.4=−1.64\times -0.4 =-1.64×−0.4=−1.6
欧式看跌期权多头 (无红利)	−1<Δ<0-1<\Delta<0−1<Δ<0	3单位多头，每单位Delta为-0.5: 3×−0.5=−1.53\times -0.5 =-1.53×−0.5=−1.5
欧式看跌期权空头 (无红利)	0<Δ<10<\Delta<10<Δ<1	2单位空头，每单位Delta为0.6: 2×0.6=1.22\times 0.6 =1.22×0.6=1.2
投资组合		∑iNi⋅Δi\sum_i N_i\cdot\Delta_ii∑​Ni​⋅Δi​

Delta 中性

• 在投资组合中 让Delta 为0 称 Delta 中性
• 意味着 投资组合对现货价格变动的一阶敏感性为 0
• 实现：运用同一标的资产的现货，期货和期权等进行相互套期保值，使证券组合的值等于0
• 特点：有期权的情况下是动态的，需要不懂调整头寸以使组合重新处于Δ\DeltaΔ中性状态，这种调整称为再均衡(Rebalancing)。

Gamma (Γ)(\Gamma)(Γ)

• 标的价格变动1单位时，Delta Δ\DeltaΔ 变多少？

• 例：

  • Gamma = 0.0056，Delta = 0.3141 意味着
  • 如果指数上涨 10 点，Delta大概上升至 0.3141+10∗0.0056=0.37010.3141+10*0.0056 = 0.37010.3141+10∗0.0056=0.3701
  • 如果指数下跌 10 点，Delta大概下降至 0.3141−10∗0.0056=0.25810.3141-10*0.0056 = 0.25810.3141−10∗0.0056=0.2581

• Γ=∂Δ∂S=∂2c∂S2\Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S}=\frac{\partial^2 c}{\partial S^2}Γ=∂S∂Δ​=∂S2∂2c​

• 期权价格曲线曲度的主要部分 dc≈Δ×dS+12Γ×(dS)2d c \approx \Delta \times d S + \frac{1}{2}\Gamma \times (d S)^2dc≈Δ×dS+21​Γ×(dS)2

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt # 画图
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 设置中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 设置中文负号class BlackScholes:def __init__(self, S0, X, r, T, sigma=0.3,t=0):self.S0 = S0self.X = Xself.r = rself.sigma = sigmaself.dT = T-tdef d1(self):return(np.log(self.S0/self.X)+(self.r+self.sigma**2/2)*(self.dT))/(self.sigma*np.sqrt(self.dT))def d2(self):return self.d1()-self.sigma*np.sqrt(self.dT)def calc(self, call_put):if call_put in {'c','C','call','Call','CALL'}:return self.S0 * norm.cdf(self.d1())- \self.X*np.exp(-self.r*self.dT)*norm.cdf(self.d2())elif call_put in {'p','P','put','Put','PUT'}:return self.X*np.exp(-self.r*self.dT)*norm.cdf(-self.d2())- \self.S0 * norm.cdf(-self.d1())raise NameError('Must be call or Put!',call_put)def imp_vol(self,call_put,mktprice):price = 0sigma = 0.3up, low = 1,0loop = 0while abs(price-mktprice)>1e-6 and loop<50:price = BlackScholes(self.S0,self.X,self.r,self.dT,sigma).calc(call_put)if (price-mktprice)>0:up = sigmasigma = (sigma+low)/2else:low = sigmasigma = (sigma+up)/2loop+=1return sigma

def d1(X,Y):dx = X[2:] - X[:-2]dy = Y[2:] - Y[:-2]return X[1:-1],dy/dxdef d2(X,Y):X, Y = d1(X,Y)return d1(X,Y)def plt_slope(X,Y,x):dx,slopes = d1(X,Y)d2x, gammas = d2(X,Y)slope_x = slopes[abs(dx-x)<1e-6]gamma_x = gammas[abs(d2x-x)<1e-6]y = Y[abs(X-x)<1e-6]plt.plot(X,slope_x*(X-x)+y,'--',c='orange',label='slope')plt.annotate(fr'$\Delta = ${round(slope_x[0],4)}',xy=(x,y-0.08),weight="bold")plt.annotate(fr'$\Gamma = ${round(gamma_x[0],4)}',xy=(x,y-0.12),weight="bold")

# 标的价格S做自变量 求因变量c
S = np.arange(2.5,3.5,0.001)
BS = [BlackScholes(s,3., 0.05, 0.16)for s in S]
bc = np.array([bs.calc('c') for bs in BS]) # Buy Call
bp = np.array([bs.calc('p') for bs in BS]) # Buy Put
bc_dx,bc_dy = d1(S,bc) # Buy Call Delta
bp_dx,bp_dy = d1(S,bp) # Buy Put Delta
bc_d2x,bc_d2y = d2(S,bc) # Buy Call Delta
bp_d2x,bp_d2y = d2(S,bp) # Buy Put Delta

x_samples = [2.6,3,3.4]
y_samples = [bc[abs(S-x)<1e-6]for x in x_samples] # 计算得出y坐标
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,bc)
plt_slope(S,bc,3.)
plt.grid(True)
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看涨期权价格')
plt.yticks(y_samples,[r'$C_2$',r'$C_0$',r'$C_1$'])
plt.xticks(x_samples,[r'$S_2$',r'$S_0$',r'$S_1$'])
plt.show()

• (无红利欧式期权)Gamma的4个特征

特征 I

• 期权多头 Γ>0\Gamma>0Γ>0 凹曲面 Convex
  • 看涨 Convex up 上凹
  • 看跌 Convex down 下凹
• 期权空头 Γ<0\Gamma<0Γ<0 凸曲面 Concave
  • 看涨 Concave down 下凸
  • 看跌 Concave up 上凸

# 看涨多头
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,bc,'r',lw=2)
plt_slope(S,bc,3.)
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看涨期权价格')
plt.title('看涨期权多头 Gamma 特征')
plt.show()

# 看跌多头
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,bp,'r',lw=2)
plt_slope(S,bp,3.)
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看跌期权价格')
plt.title('看跌期权多头 Gamma 特征')
plt.show()

# 看涨空头
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,-1*bc,'r',lw=2)
plt_slope(S,-1*bc,3.)
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看涨期权价格')
plt.title('看涨期权空头 Gamma 特征')
plt.show()

# 看跌空头
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,-1*bp,'r',lw=2)
plt_slope(S,-1*bp,3.)
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看跌期权价格')
plt.title('看跌期权空头 Gamma 特征')
plt.show()

特征 II

• 其他条件相同的欧式期权：看涨Gamma=看跌Gamma

c+X1+r(T−t)=p+S→∂2c∂S2=∂2p∂S2c + \frac{X}{1+r(T-t)}=p+S \to \frac{\partial^2 c}{\partial S^2}= \frac{\partial^2 p}{\partial S^2}c+1+r(T−t)X​=p+S→∂S2∂2c​=∂S2∂2p​

# 对比多头 Gammaplt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(bc_d2x,bc_d2y,'r',lw=4,label='Call') # 因为相等 加粗
plt.plot(bp_d2x,bp_d2y,'green',label='Put')
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Gamma 值')
plt.xlabel('标的价格')
plt.grid(True)
plt.show()

特征 III

• 平价附近期权的Gamma值最大

特征 IV

• 快到期时，实值、虚值、和平值期权的Delta 差异比较大
• 波动率较低时，实值、虚值、和平值期权的Delta 差异比较大

# 看涨期权的Gamma 与期限的关系
T = np.arange(0.01,2,0.001)
BS_T_r = [[BlackScholes(3.48+i*0.01,3., 0.05, t).calc('c') for i in range(5)] for t in T] # 实值
BS_T_e = [[BlackScholes(2.98+i*0.01,3., 0.05, t).calc('c') for i in range(5)] for t in T] # 平价
BS_T_i = [[BlackScholes(2.48+i*0.01,3., 0.05, t).calc('c') for i in range(5)] for t in T] # 虚值
interval_x = np.array([i*0.01 for i in range(5)])plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
for BS_T,labels,color in zip([BS_T_r,BS_T_e,BS_T_i],['实值','平价','虚值'],['r','orange','g']):bc = [d2(interval_x, np.array(bs))[1][0] for bs in BS_T] # Buy Call Gammaplt.plot(T,bc,color,label=labels)
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Gamma 值')
plt.title('看涨期权的Gamma 与期限的关系')
plt.xlabel('期权期限(年)')
plt.xticks([0,1,2])
plt.grid(True)
plt.show()

# 看跌期权的Gamma 与期限的关系
T = np.arange(0.01,2,0.001)
BS_T_r = [[BlackScholes(3.48+i*0.01,3., 0.05, t).calc('p') for i in range(5)] for t in T] # 实值
BS_T_e = [[BlackScholes(2.98+i*0.01,3., 0.05, t).calc('p') for i in range(5)] for t in T] # 平价
BS_T_i = [[BlackScholes(2.48+i*0.01,3., 0.05, t).calc('p') for i in range(5)] for t in T] # 虚值
interval_x = np.array([i*0.01 for i in range(5)])plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
for BS_T,labels,color in zip([BS_T_i,BS_T_e,BS_T_r],['实值','平价','虚值'],['r','orange','g']):bc = [d2(interval_x, np.array(bs))[1][0] for bs in BS_T] # Buy Put Gammaplt.plot(T,bc,color,label=labels)
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Gamma 值')
plt.title('看跌期权的Gamma 与期限的关系')
plt.xlabel('期权期限(年)')
plt.xticks([0,1,2])
plt.grid(True)
plt.show()

# 看涨期权的Gamma 与波动率的关系
Sigma = np.arange(0.01,1,0.001)
t = 0.5
BS_S_r = [[BlackScholes(3.48+i*0.01,3., sigma, t).calc('c') for i in range(5)] for sigma in Sigma] # 实值
BS_S_e = [[BlackScholes(2.98+i*0.01,3., sigma, t).calc('c') for i in range(5)] for sigma in Sigma] # 平价
BS_S_i = [[BlackScholes(2.48+i*0.01,3., sigma, t).calc('c') for i in range(5)] for sigma in Sigma] # 虚值
interval_x = np.array([i*0.01 for i in range(5)])plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
for BS_S,labels,color in zip([BS_S_r,BS_S_e,BS_S_i],['实值','平价','虚值'],['r','orange','g']):bc = [d2(interval_x, np.array(bs))[1][0] for bs in BS_S] # Buy Call Gammaplt.plot(Sigma,bc,color,label=labels)
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Gamma 值')
plt.title('看涨期权的Gamma 与波动率的关系')
plt.xlabel('波动率')
plt.xticks([0,0.5,1],['0%','50%','100%'])
plt.grid(True)
plt.show()

# 看跌期权的Gamma 与波动率的关系
Sigma = np.arange(0.01,1,0.001)
t = 0.5
BS_S_r = [[BlackScholes(3.48+i*0.01,3., sigma, t).calc('p') for i in range(5)] for sigma in Sigma] # 实值
BS_S_e = [[BlackScholes(2.98+i*0.01,3., sigma, t).calc('p') for i in range(5)] for sigma in Sigma] # 平价
BS_S_i = [[BlackScholes(2.48+i*0.01,3., sigma, t).calc('p') for i in range(5)] for sigma in Sigma] # 虚值
interval_x = np.array([i*0.01 for i in range(5)])plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
for BS_S,labels,color in zip([BS_S_i,BS_S_e,BS_S_r],['实值','平价','虚值'],['r','orange','g']):bc = [d2(interval_x, np.array(bs))[1][0] for bs in BS_S] # Buy Put Gammaplt.plot(Sigma,bc,color,label=labels)
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Gamma 值')
plt.title('看跌期权的Gamma 与波动率的关系')
plt.xlabel('波动率')
plt.xticks([0,0.5,1],['0%','50%','100%'])
plt.grid(True)
plt.show()

证券组合的 Gamma 值

头寸	Gamma	例子(N为数量)
现货多头	0	4单位: 4×0=04\times 0 =04×0=0
现货空头	0	3单位: 3×0=03\times 0 =03×0=0
期货多头	0	2单位: 2×0=02\times 0 =02×0=0
现货多头	0	5单位: 5×0=05\times 0 =05×0=0
欧式看涨期权多头 (无红利)	Γ>0\Gamma>0Γ>0	5单位多头，每单位 Gamma 为0.005: 5×0.005=0.0255\times 0.005 =0.0255×0.005=0.025
欧式看涨期权空头 (无红利)	Γ<0\Gamma<0Γ<0	4单位空头，每单位 Gamma 为-0.004: 4×−0.004=−0.0164\times -0.004 =-0.0164×−0.004=−0.016
欧式看跌期权多头 (无红利)	Γ>0\Gamma>0Γ>0	3单位多头，每单位 Gamma 为0.005: 3×0.005=0.0153\times 0.005 =0.0153×0.005=0.015
欧式看跌期权空头 (无红利)	Γ<0\Gamma<0Γ<0	2单位空头，每单位 Gamma 为-0.006: 2×−0.006=0.0122\times -0.006 =0.0122×−0.006=0.012
投资组合		∑iNi⋅Γi\sum_i N_i\cdot\Gamma_ii∑​Ni​⋅Γi​

Gamma 中性

• 只有期权有 Gamma 值
• 在投资组合中 让 Γ\GammaΓ 为0 称 Γ\GammaΓ 中性
• Γ\GammaΓ 中性 时为了消除 Δ\DeltaΔ 中性的误差，同样也是动态的概念
• 实现：由于保持 Γ\GammaΓ 中性只能通过期权头寸调整获得，实现中性的结果往往时非中性，因而常常还需要运用标的资产或期货头寸进行调整，才能使得证券组合同时实现 Δ,Γ\Delta ,\ \GammaΔ, Γ 中性

Theta (Θ)(\Theta)(Θ) — 时间

• 时间变化一天，期权价格大概变化多少？

• Time 时间

• 例：

  • Theta = 1.234 意味着
  • 时间每过一天，期权价格大概上涨 1.234点

Vega (ϑ)(\vartheta)(ϑ) — 隐含波动率

• 隐含波动率变化一百分点，期权价格大概变化多少？

• Volatility 隐含波动率

• 例：

  • Vega = 1.878 意味着
  • 每隐含波动率上升1%，期权价格大概上涨 1.878点

Rho (r)(r)(r) — 利率

• Rate 利率

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