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编程金融小白学 股票期权

希腊字母 I

• 运用希腊字母 是对期权 比较静态的敏感分析

• 含义：其他条件不变，（某因素）变化一单位，期权价格大概变化多少？

  • 标的资产价格: Delta (Δ)(\Delta)(Δ)
  • 时间: Theta (θ)(\theta)(θ)
  • 隐含波动率: Vega (ϑ)(\vartheta)(ϑ)
  • 利率: Rho (r)(r)(r)

• Gamma (γ)(\gamma)(γ): 标的价格变动1单位时，Delta Δ\DeltaΔ 变多少？

波动率 Sigma (σ)(\sigma)(σ)

• 详情 请看上一篇 隐含波动率

Delta (Δ)(\Delta)(Δ) — 标的资产价格

• 标的资产价格变化一单位，期权价格大概变化多少？

• 例：

  • Delta = 0.3141 意味着
  • 如果指数上涨 10 点，期权价格大概上涨 3.141点

• Δ=∂c∂S\Delta = \frac{\partial c}{\partial S}Δ=∂S∂c​

• 期权价格曲线切线斜率（动态时变）

• (无红利欧式期权)的4个特征：

特征 I

标的价格	看涨多头	看涨空头	看跌多头	看跌空头
区间	0<Δ<10<\Delta<10<Δ<1	符号相反	−1<Δ<0-1<\Delta<0−1<Δ<0	符号相反
虚值	Δ→0\Delta\to0Δ→0	Δ→0\Delta\to0Δ→0	Δ→0\Delta\to0Δ→0	Δ→0\Delta\to0Δ→0
平价	Δ≈0.5\Delta\approx0.5Δ≈0.5	Δ≈−0.5\Delta\approx-0.5Δ≈−0.5	Δ≈−0.5\Delta\approx-0.5Δ≈−0.5	Δ≈0.5\Delta\approx0.5Δ≈0.5
实值	Δ→1\Delta\to1Δ→1	Δ→−1\Delta\to-1Δ→−1	Δ→−1\Delta\to-1Δ→−1	Δ→1\Delta\to1Δ→1

• 利用上篇的BS定价模型绘制图像 更好的去理解

import numpy as np
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt # 画图
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['FangSong'] # 设置中文
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 设置中文负号class BlackScholes:def __init__(self, S0, X, r, T, sigma=0.3,t=0):self.S0 = S0self.X = Xself.r = rself.sigma = sigmaself.dT = T-tdef d1(self):return(np.log(self.S0/self.X)+(self.r+self.sigma**2/2)*(self.dT))/(self.sigma*np.sqrt(self.dT))def d2(self):return self.d1()-self.sigma*np.sqrt(self.dT)def calc(self, call_put):if call_put in {'c','C','call','Call','CALL'}:return self.S0 * norm.cdf(self.d1())- \self.X*np.exp(-self.r*self.dT)*norm.cdf(self.d2())elif call_put in {'p','P','put','Put','PUT'}:return self.X*np.exp(-self.r*self.dT)*norm.cdf(-self.d2())- \self.S0 * norm.cdf(-self.d1())raise NameError('Must be call or Put!',call_put)def imp_vol(self,call_put,mktprice):price = 0sigma = 0.3up, low = 1,0loop = 0while abs(price-mktprice)>1e-6 and loop<50:price = BlackScholes(self.S0,self.X,self.r,self.dT,sigma).calc(call_put)if (price-mktprice)>0:up = sigmasigma = (sigma+low)/2else:low = sigmasigma = (sigma+up)/2loop+=1return sigma

# 标的价格S做自变量 求因变量c
S = np.arange(2.5,3.5,0.001)
BS = [BlackScholes(s,3., 0.05, 0.16)for s in S]
c = np.array([bs.calc('c') for bs in BS])

# 绘图
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,c,'r',lw=2)
annotate_x=[2.6,3.,3.4]
annotate_y=[BlackScholes(s,3., 0.05, 0.16).calc('c') for s in annotate_x]
annotate_name = ['虚值','平价','实值']
annotate_symbol= [r'$\Delta \to 0$',r'$\Delta \approx 0.5$',r'$\Delta \to 1$']
for x,y,z,s in zip(annotate_x,annotate_y,annotate_name,annotate_symbol):plt.annotate(z,xy=(x-0.05,y+0.08),weight="bold")plt.annotate(s,xy=(x,y),xytext=(x-0.05,y+0.05),arrowprops=dict(arrowstyle='->',connectionstyle="arc3",color="r"))
plt.annotate(r'$0<\Delta<1$',xy=(2.95,0.01))
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看涨期权价格')
plt.title('看涨期权多头 Delta 特征')
plt.show()

# 标的价格S做自变量 求因变量c
c = np.array([-1*bs.calc('c') for bs in BS])
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,c,'r',lw=2)
annotate_x=[2.6,3.,3.4]
annotate_y=[-1*BlackScholes(s,3., 0.05, 0.16).calc('c') for s in annotate_x]
annotate_name = ['虚值','平价','实值']
annotate_symbol= [r'$\Delta \to 0$',r'$\Delta \approx -0.5$',r'$\Delta \to -1$']
for x,y,z,s in zip(annotate_x,annotate_y,annotate_name,annotate_symbol):plt.annotate(z,xy=(x-0.1,y-0.08),weight="bold")plt.annotate(s,xy=(x,y),xytext=(x-0.1,y-0.05),arrowprops=dict(arrowstyle='->',connectionstyle="arc3",color="r"))
plt.annotate(r'$0>\Delta>-1$',xy=(2.95,-0.5))
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看涨期权价格')
plt.title('看涨期权空头 Delta 特征')
plt.show()

# 标的价格S做自变量 求因变量p
p = np.array([bs.calc('p') for bs in BS])
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,p,'r',lw=2)
annotate_x=[2.6,3.,3.4]
annotate_y=[BlackScholes(s,3., 0.05, 0.16).calc('p') for s in annotate_x]
annotate_name = ['实值','平价','虚值']
annotate_symbol= [r'$\Delta \to -1$',r'$\Delta \approx -0.5$',r'$\Delta \to 0$']
for x,y,z,s in zip(annotate_x,annotate_y,annotate_name,annotate_symbol):plt.annotate(z,xy=(x-0.05,y+0.08),weight="bold")plt.annotate(s,xy=(x,y),xytext=(x-0.05,y+0.05),arrowprops=dict(arrowstyle='->',connectionstyle="arc3",color="r"))
plt.annotate(r'$-1<\Delta<0$',xy=(2.9,0.01))
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看跌期权价格')
plt.title('看跌期权多头 Delta 特征')
plt.show()

# 标的价格S做自变量 求因变量p
p = np.array([-1*bs.calc('p') for bs in BS])
plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(S,p,'r',lw=2)
annotate_x=[2.6,3.,3.4]
annotate_y=[-1*BlackScholes(s,3., 0.05, 0.16).calc('p') for s in annotate_x]
annotate_name = ['实值','平价','虚值']
annotate_symbol= [r'$\Delta \to 1$',r'$\Delta \approx 0.5$',r'$\Delta \to 0$']
for x,y,z,s in zip(annotate_x,annotate_y,annotate_name,annotate_symbol):plt.annotate(z,xy=(x-0.05,y-0.08),weight="bold")plt.annotate(s,xy=(x,y),xytext=(x-0.05,y-0.05),arrowprops=dict(arrowstyle='->',connectionstyle="arc3",color="r"))
plt.annotate(r'$1>\Delta>0$',xy=(2.95,-0.5))
plt.xlabel('标的价格')
plt.ylabel('看跌期权价格')
plt.title('看跌期权空头 Delta 特征')
plt.show()

特征 II

• PCP 平价原理
  • 看涨期权Delta=看跌期权Delta+1看涨期权 Delta = 看跌期权 Delta + 1看涨期权Delta=看跌期权Delta+1

c+X1+r(T−t)=p+S→∂c∂S=∂p∂S+1c + \frac{X}{1+r(T-t)}=p+S \to \frac{\partial c}{\partial S}= \frac{\partial p}{\partial S}+1c+1+r(T−t)X​=p+S→∂S∂c​=∂S∂p​+1

# 其实没必要这么复杂。。。
from sklearn import linear_model
def d1(X,Y,Window=5):result_x, result_y = [],[]step = Window//2for i in range(len(X)-Window):reg = linear_model.LinearRegression()reg.fit(X[i:i+Window].reshape(-1,1),Y[i:i+Window].reshape(-1,1))result_y.append(reg.coef_[0][0])result_x.append(X[i+step])return result_x,result_y

bc = np.array([bs.calc('c') for bs in BS]) # Buy Call
bp = np.array([bs.calc('p') for bs in BS]) # Buy Put
bc_x,bc_y = d1(S,bc) # Buy Call Delta
bp_x,bp_y = d1(S,bp) # Buy Put Delta

plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
plt.plot(bc_x,bc_y,'r',label='Call')
plt.plot(bp_x,bp_y,'green',label='Put')
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Delta 值')
plt.xlabel('标的价格')
plt.grid(True)
plt.show()

• 如图，可以看出来 他们的Delta 相差1

特征 III

• 快到期时，实值、虚值、和平值期权的Delta 差异比较大
  • 剩余期限比较大的话 时间价值比较大 它的期权价格曲线相对平滑，所以它的切线斜率比较小

T = np.arange(0.01,2,0.001)
BS_T_r = [(BlackScholes(3.49,3., 0.05, t),BlackScholes(3.51,3., 0.05, t)) for t in T] # 实值
BS_T_e = [(BlackScholes(2.99,3., 0.05, t),BlackScholes(3.01,3., 0.05, t)) for t in T] # 平价
BS_T_i = [(BlackScholes(2.49,3., 0.05, t),BlackScholes(2.51,3., 0.05, t)) for t in T] # 虚值plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
for BS_T,labels,color in zip([BS_T_r,BS_T_e,BS_T_i],['实值','平价','虚值'],['r','orange','g']):bc = np.array([(bs2.calc('c')-bs1.calc('c'))/0.02 for bs1,bs2 in BS_T]) # Buy Call Deltaplt.plot(T,bc,color,label=labels)
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Delta 值')
plt.title('看涨期权的Delta 与期限的关系')
plt.xlabel('期权期限(年)')
plt.xticks([0,1,2])
plt.grid(True)
plt.show()

plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
for BS_T,labels,color in zip([BS_T_r,BS_T_e,BS_T_i],['虚值','平价','实值'],['g','orange','r']):# 与认购相反bp = np.array([(bs2.calc('p')-bs1.calc('p'))/0.02 for bs1,bs2 in BS_T]) # Buy Call Deltaplt.plot(T,bp,color,label=labels)
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Delta 值')
plt.title('看跌期权的Delta 与期限的关系')
plt.xlabel('期权期限(年)')
plt.xticks([0,1,2])
plt.grid(True)
plt.show()

特征 IV

• 波动率较低时，实值、虚值、和平值期权的Delta 差异比较大
  • 原理与特征 III 相同

Sigma = np.arange(0.01,1,0.001)
t = 0.5
BS_S_r = [(BlackScholes(3.49,3., sigma, t),BlackScholes(3.51,3., sigma, t)) for sigma in Sigma] # 实值
BS_S_e = [(BlackScholes(2.99,3., sigma, t),BlackScholes(3.01,3., sigma, t)) for sigma in Sigma] # 平价
BS_S_i = [(BlackScholes(2.49,3., sigma, t),BlackScholes(2.51,3., sigma, t)) for sigma in Sigma] # 虚值plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
for BS_S,labels,color in zip([BS_S_r,BS_S_e,BS_S_i],['实值','平价','虚值'],['r','orange','g']):bc = np.array([(bs2.calc('c')-bs1.calc('c'))/0.02 for bs1,bs2 in BS_S]) # Buy Call Deltaplt.plot(Sigma,bc,color,label=labels)
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Delta 值')
plt.title('看涨期权的Delta 与波动率的关系')
plt.xlabel('波动率')
plt.xticks([0,0.5,1],['0%','50%','100%'])
plt.grid(True)
plt.show()

plt.figure(figsize=(8,5), dpi=200)
for BS_S,labels,color in zip([BS_S_r,BS_S_e,BS_S_i],['虚值','平价','实值'],['g','orange','r']):# 与认购相反bp = np.array([(bs2.calc('p')-bs1.calc('p'))/0.02 for bs1,bs2 in BS_S]) # Buy Call Deltaplt.plot(Sigma,bp,color,label=labels)
plt.legend(loc='best')
plt.ylabel('Delta 值')
plt.title('看跌期权的Delta 与波动率的关系')
plt.xlabel('波动率')
plt.xticks([0,0.5,1],['0%','50%','100%'])
plt.grid(True)
plt.show()

证券组合的 Delta 值

头寸	Delta	例子(N为数量)
现货多头	1	4单位: 4×1=44\times 1 =44×1=4
现货空头	-1	3单位: 3×−1=−33\times -1 =-33×−1=−3
期货多头	1	2单位: 2×1=22\times 1 =22×1=2
现货多头	-1	5单位: 5×−1=−55\times -1 =-55×−1=−5
欧式看涨期权多头 (无红利)	0<Δ<10<\Delta<10<Δ<1	5单位多头，每单位Delta为0.5: 5×0.5=2.55\times 0.5 =2.55×0.5=2.5
欧式看涨期权空头 (无红利)	−1<Δ<0-1<\Delta<0−1<Δ<0	4单位多头，每单位Delta为-0.4: 4×−0.4=−1.64\times -0.4 =-1.64×−0.4=−1.6
欧式看跌期权多头 (无红利)	−1<Δ<0-1<\Delta<0−1<Δ<0	3单位多头，每单位Delta为-0.5: 3×−0.5=−1.53\times -0.5 =-1.53×−0.5=−1.5
欧式看跌期权空头 (无红利)	0<Δ<10<\Delta<10<Δ<1	2单位多头，每单位Delta为0.6: 2×0.6=1.22\times 0.6 =1.22×0.6=1.2
投资组合		∑iNi⋅Δi↑\sum_i N_i\cdot\Delta_i\uparrowi∑​Ni​⋅Δi​↑

Delta 中性

• 在投资组合中 让Delta 为0 称 Delta 中性
• 意味着 投资组合对现货价格变动的一阶敏感性为 0
• 实现：运用同一标的资产的现货，期货和期权等进行相互套期保值，使证券组合的值等于0
• 特点：有期权的情况下是动态的，需要不懂调整头寸以使组合重新处于Δ\DeltaΔ中性状态，这种调整称为再均衡(Rebalancing)。

Theta (θ)(\theta)(θ) — 时间

• 时间变化一天，期权价格大概变化多少？

• Time 时间

• 例：

  • Theta = 1.234 意味着
  • 时间每过一天，期权价格大概上涨 1.234点

Vega (ϑ)(\vartheta)(ϑ) — 隐含波动率

• 隐含波动率变化一百分点，期权价格大概变化多少？

• Volatility 隐含波动率

• 例：

  • Vega = 1.878 意味着
  • 每隐含波动率上升1%，期权价格大概上涨 1.878点

Rho (r)(r)(r) — 利率

• Rate 利率

Gamma

• 例：
  • Gamma = 0.0056，Delta = 0.3141 意味着
  • 如果指数上涨 10 点，Delta大概上升至 0.3141+10∗0.0056=0.37010.3141+10*0.0056 = 0.37010.3141+10∗0.0056=0.3701
  • 如果指数下跌 10 点，Delta大概下降至 0.3141−10∗0.0056=0.25810.3141-10*0.0056 = 0.25810.3141−10∗0.0056=0.2581

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