计量经济学 pdf_计量经济学笔记（十六）

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计量经济学 | 第三章：独立同分布随机样本的线性回归模型（四）mp.weixin.qq.com

第三章独立同分布随机样本的线性回归模型

第五节渐近方差估计量

为了构造参数置信区间估计量或进行参数假设检验，需要估计

的渐近方差

。由于在条件同方差和条件异方差情况下，

的表达式不同，因此分以下两种情形讨论。

1.条件同方差

根据前文的叙述我们知道，此时

的渐近方差为

首先估计

。

引理3.5 给定假设3.1(独立同分布),3.2(线性),3.4(非奇异性)，则

其次，考虑估计

。

因为

，可使用样本残差方差估计量

定理3.6

的一致估计量(Consistent Estimator of

)：

给定假设3.1-3.4(独立同分布、线性、正确模型设定、非奇异性)，当

时，有

证明：

给定

且

这里估计残差

包括真实扰动项

以及估计误差

。有

因此可用

一致地估计

。

定理3.7 条件同方差下

的渐近方差估计量(Asymptotic Variance Estimator of OLS Under Conditional Homoskedasticity)：

给定假设3.1-3.4(独立同分布、线性、正确模型设定、非奇异性)，当

时，有

的渐近方差估计量是

这等价于，当

很大时，

的方差估计量近似为

在大样本和条件同方差下，通常的

检验统计量与

检验统计量是有效的。

2.条件异方差情形

当存在条件异方差(即

时)

的渐近方差

我们仍然可以用

估计

。

如何估计

呢？可用其样本等价形式

其中，

是

对角矩阵，对角元素为估计残差

。为保证

是

的一致估计，施加以下额外的矩条件。

假设3.7：

(1)对于所有的

(2)

引理3.6 给定假设3.1-3.5和3.7，则当

时，有

证明：

因为

，有

这里，根据弱大数定律，当

时，第一项

假设3.7保证保证弱大数定律所需的矩条件成立，有

定理3.8 条件异方差下

的渐近方差估计量(Asymptotic Variance Estimator of OLS Under Conditional Heteroskedasticity)：给定假设3.1-3.5和3.7，当

时，有

这就是

的

White(1980)异方差一致性方差-协方差矩阵估计量(heteroskedasticity-consistent variance-covariance matrix estimator)。因此，当存在条件异方差及

很大时，

的方差估计量为

如果存在条件异方差，但用

作为

的估计量，会出现什么后果呢？

因为

因此，

这里

。因此，如果

与

存在正相关，则

将低估

的真实方差-协方差矩阵。这样，在任何给定的显著性水平下，标准的

检验和

检验将过度拒绝正确的原假设，即存在严重的第I类错误。

另一方面，如果存在条件同方差但仍使用渐近方差估计量

，会出现什么后果？

渐近方差估计量

在在条件同方差下也是渐近有效的，即它依概率收敛于

的真实渐近方差

。但在有限样本条件下，它可能不如

表现好，因为后者利用了条件同方差这一信息。因而，在样本容量

较小时，

将是一个更有效的方差估计量。

参考文献：

洪永淼.《高级计量经济学》.高等教育出版社.2011-7