蓝桥杯算法训练数的潜能正整数分解使得乘积最大问题

2024-04-30 19:26:24

目录

一、题目
二、思路
三、代码
四、遇到的问题
五、参考

一、题目

问题描述
　　将一个数N分为多个正整数之和，即N=a1+a2+a3+…+ak，定义M=a1a2a3*…*ak为N的潜能。
　　给定N，求它的潜能M。
　　由于M可能过大，只需求M对5218取模的余数。
输入格式
　　输入共一行，为一个正整数N。
输出格式
　　输出共一行，为N的潜能M对5218取模的余数。
样例输入
10
样例输出
36
数据规模和约定
1<=N<10^18

二、思路

具体思路可见文末参考博客。

先来看几个数找找规律：4=2+2，5=2+3，6=3+3，7=3+2+2，8=3+3+2，9=3+3+3

发现规律如下：

（1）元素不会超过4，因为4=2+2，又可以转化为2的问题，而5=2+3，5<2*3，所以5总能分解成2和3。
（2）尽可能多分解出3，然后分解出2，不要分出1。

考虑任意一个数，除以3之后的结果有以下3种：
（1）能被3除断（即整除），那么就分解为3+3+…+3的情况即可。例如：9=3+3+3。
（2）被3除余1，分解为3+3+…+3+2+2或者3+3+…+3+4的情况，例如：10=3+3+2+2
（3）被3除余2，分解为3+3+…+3+2的情况，例如：11=3+3+3+2。

所以最好是分解成连续的3，或附带一两个2。

那么关键问题就变成了 3的k次方取模的问题，这个用快速幂可以解决。

具体快速幂可见文末参考视频链接。

三、代码

//正整数N分解使得乘积M最大问题
#include <iostream>
using namespace std;typedef long long ll;
#define p 5218              //余数int fastPow(int a,ll k)     //递归实现快速幂
{//递归出口if (k == 0)return 1;if (k == 1)return a;ll t = fastPow(a, k / 2) % p;if (k % 2 == 0)  //如果k是偶数return t * t % p;return t * t * a % p;
}
int main()
{ll N;cin >> N;if (N <= 2){cout << N;return 0;}if (N % 3 == 0)        //如果能够被3直接整除{ll k = N / 3; //问题就转化为3的k次方模pcout << fastPow(3,k);return 0;}if (N % 3 == 1){ll k = N / 3 - 1;cout << fastPow(3,k) * 4 % p;return 0;}if (N % 3 == 2){ll k = N / 3;cout << fastPow(3, k) * 2 % p;return 0;}
}

四、遇到的问题

在实现快速幂函数时，误将k定义为int类型，导致错误

五、参考

B站
快速幂问题

博客
正整数分解使得乘积最大问题
数论 - 正整数分解使得乘积最大问题

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