Logistic模型

logistic回归又称logistic回归分析，主要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预测某疾病发生的概率，等等。例如，想探讨胃癌发生的危险因素，可以选择两组人群，一组是胃癌组，一组是非胃癌组，两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是–是否胃癌，即“是”或“否”，为两分类变量，自变量就可以包括很多了，例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的，也可以是离散的。通过logistic回归分析，就可以大致了解到底哪些因素是胃癌的危险因素。

与多重线性回归的比较：
logistic回归(Logistic regression) 与多重线性回归实际上有很多相同之处，最大的区别就在于他们的因变量不同，其他的基本都差不多，正是因为如此，这两种回归可以归于同一个家族，即广义线性模型（generalized linear model）。这一家族中的模型形式基本上都差不多，不同的就是因变量不同，如果是连续的，就是多重线性回归，如果是二项分布，就是logistic回归，如果是poisson分布，就是poisson回归，如果是负二项分布，就是负二项回归，等等。只要注意区分它们的因变量就可以了。

logistic回归的因变量可以是二分非线性差分方程类的，也可以是多分类的，但是二分类的更为常用，也更加容易解释。所以实际中最为常用的就是二分类的logistic回归。

logistic回归模型：

逻辑回归（Logistic Regression）是机器学习中最常见的一种用于二分类的算法模型，由于其数学原理简单易懂，作用高效，其实际应用非常广泛。虽然带回归二字，实则是分类模型，下面从logit变换开始。

logit变换：

*Logit模型（Logit model，也译作“评定模型”，“分类评定模型”，又作Logistic regression，“逻辑回归”）是离散选择法模型之一，属于多重变量分析范畴，是社会学、生物统计学、临床、数量心理学、计量经济学、市场营销等统计实证分析的常用方法。

线性回归模型的一个局限性是要求因变量是定量变量(定距变量、定比变量)而不能是定性变量(定序变量、定类变量)。但是在许多实际问题中，经常出现因变量是定性变量(分类变量)的情况。可用于处理分类因变量的统计分析方法有：判别分析( Discriminantanalysis)、 Probit分析、 Logistic回归分析和对数线性模型等。在社会科学中,应用最多的是 Logistic回归分析。

Logistic回归分析根据因变量取值类别不同，又可以分为二元 Logistic回归分析和多元 Logistic回归分析，二元 Logistic回归模型中因变量只能取两个值1和0(虚拟因变量)，而多元 Logistic回归模型中因变量可以取多个值。逻辑分布（Logistic distribution）公式：

P(Y=1│X=x)=exp(x’β)/(1+exp(x’β)) 其中参数β常用极大似然估计。

Logit模型是最早的离散选择模型，也是应用最广的模型。Logit模型是Luce（1959）根据IIA特性首次导出的；Marschark（1960）证明了Logit模型与最大效用理论的一致性；Marley（1965）研究了模型的形式和效用非确定项的分布之间的关系，证明了极值分布可以推导出Logit形式的模型。

McFadden（1974）反过来证明了具有Logit形式的模型效用非确定项一定服从极值分布。

此后Logit模型在心理学、社会学、经济学及交通领域得到了广泛的应用，并衍生发展出了其他离散选择模型，形成了完整的离散选择模型体系，如Probit模型、NL模型（Nest Logit model）、Mixed Logit模型等。

Logit模型的应用广泛性的原因主要是因为其概率表达式的显性特点，模型的求解速度快，应用方便。当模型选择集没有发生变化，而仅仅是当各变量的水平发生变化时（如出行时间发生变化），可以方便的求解各选择枝在新环境下的各选择枝的被选概率。根据Logit模型的IIA特性，选择枝的减少或者增加不影响其他各选择之间被选概率比值的大小，因此，可以直接将需要去掉的选择枝从模型中去掉，也可将新加入的选择枝添加到模型中直接用于预测。

Logit模型这种应用的方便性是其他模型所不具有的，也是模型被广泛应用的主原因之一。*

软件实现方式：

在stata中，logistic回归可以得到很好的实现。主要命令为：

logistic hcv age marry sex

其中，logistic为主命令，hcv为因变量，后面的三个变量依次为自变量。
如果自变量既存在哑变量又存在连续变量，系统自带的help里面没有提到，可用如下方式：

xi：logistichcvagei.marryi.sex

其中，xi表示后面带i.的变量将自动变为哑变量。

分岔图（MATLAB实现）：

clc, clear;
x = 0.5;
i  =  1;
for mu=0:0.00001:2x = 1-mu*x*x;y(i) = x;i = i+1;
end
plot(0:0.00001:2,y,'.');
hold on
xlabel('\mu');
ylabel('x');

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