残差自回归模型的R实现

时间序列经常将非平稳时间序列分解为趋势部分，季节因素部分和随机部分，可以表示为：

这里的Tt为长期趋势拟合，St为季节效应拟合。
残差自回归是回归模型与ARMA模型的组合模型，由于回归模型对时间序列进行拟合时，序列中包含的信息可能不太充分，在拟合回归模型之后对其残差序列进行自相关性检验，若残差序列具有明显的自相关性，那么就需要对残差序列进行拟合。
１．利用时间序列拟合回归模型
对时间序列的趋势效应的拟合有两种形式：

这两种形式的残差自回归模型可以分别表示为：
以时间为自变量的残差自回归模型：

at是表示为回归模型的残差做完ARMA模型之后的残差，一般是白噪声序列。

以历史观察值为自变量的残差自回归模型：

２.建模步骤
（１）判别时间序列平稳性，利用时间序列时序图，自相关，偏自相关图或者单位根检验来判别。
（２）利用时间序列来拟合回归模型（包括以时间T为自变量的回归模型和以历史观察值为自变量的回归模型）
（３）对上述回归模型的残差进行自相关性检验，若其残差表现出明显的自相关性，则进行残差的ARMA模型的拟合，否则，不需要拟合。
（４）计算模型的各项参数
（５）对整个模型的最终残差进行白噪声检验

３.建模
同样的以１９５２年至１９８８年中国农业实际国民收入指数序列为例建模。
（１）画出其时序图，并对该序列进行单位根检验。

library(tseries)
library(forecast)
library(zoo)
x=read.table("C:/Users/MrDavid/data_TS/A1.17.csv",sep=",",header=T)
x.fit=ts(x$index,start=1952)
plot(x.fit,col=4,pch=8,type="o",lwd=2)
adf.test(x.fit)

单位根检验结果为：

可以看出该序列明显为非平稳序列

（２）建立以时间ｔ为自变量的残差自回归模型
得到的结果如下图所示：

那么此时拟合的回归模型可以表示为：

t=c(1:37)
x.fit1=lm(x.fit~t)
summary(x.fit1)

对此回归模型的残差进行自相关性检验，一般采用DW检验：

library(lmtest)
dwtest(x.fit1)

从这里可以看出该残差序列有着明显的自相关性，需要对其残差序列进行拟合。
画出残差序列自相关，偏自相关图

x.fit2=x.fit1$residual
acf(x.fit2,col=4,lwd=2)
pacf(x.fit2,col=4,lwd=2)

对模型进行定阶：

auto.arima(x.fit2)

此时残差序列的拟合模型，就出来了，我们也可以这样：

r.fit=arima(x.fit2,order=c(2,0,0))
r.fit

那么以时间ｔ为自变量的残差自回归模型可以表示为：

对该模型的残差进行白噪声检验：

for(i in 1:3) print(Box.test(r.fit$residual,type="Ljung-Box",lag=6*i))

说明以时间ｔ为自变量的模型拟合成功。
（３）建立以历史观察值为自变量的残差自回归模型
由（２）已经知道了该序列非平稳，所以我们直接进行回归拟合就可以了。

xlag=x.fit[2:37]
x2=x.fit[1:36]
x.fit3=lm(x2~xlag)
summary(x.fit3)

拟合的模型为：

对该回归模型进行Durbin　ｈ检验

从上图可以看出，该回归模型的残差没有明显的自相关性，所以不需要对其进行再次拟合，所以该模型是：

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