【裴礼文数学分析】例1.1.1

题面

$f:R\rightarrow R$ 严格递增，有：

$f(x_{1})+x_{1}=a$ ……①

$f^{-1}(x_{2})+x_{2}=a$ ……②

求 $x_{1}+x_{2}$

略解：

①等价于： $f^{-1}(f(x_{1}))+f(x_{1})=a$

因而 $f(x_{1})$ 是②式的一个根

而由 $f:R\rightarrow R$ 严格递增知 $f^{-1}:R\rightarrow R$ 严格递增

$f^{-1}(x)+x$ 亦严格递增

$f^{-1}(x)+x=a$ 有且仅有一个根

故 $f(x_{1})$ $=x_{2}$

结合①② 不难得到 $x_{1}+x_{2}=a$

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