泛函分析复习笔记（二）线性算子与线性泛函

Chapter 2 线性算子与线性泛函

线性算子：线性空间之间的线性映射：X,Y,D⊂X\mathscr{X},\mathscr{Y}, D\subset \mathscr{X}X,Y,D⊂X为线性子空间，T:D→Y,DT:D\rightarrow \mathscr{Y}, DT:D→Y,D称为T的定义域，记做D(T)D(T)D(T)，R(T)R(T)R(T)称为值域。若T线性：T(αx+βy)=αTx+βTyT(\alpha x+\beta y)=\alpha Tx+\beta TyT(αx+βy)=αTx+βTy，则称为线性算子

线性泛函：取值于实数/复数的线性算子，记为**f(x)f(x)f(x)或<f,x><f,x><f,x>**（注意内积是圆括号）

连续：假设空间X,Y\mathscr{X},\mathscr{Y}X,Y带有度量（F∗F^*F∗），则线性算子称作连续，若{xn}⊂D(T)→x0⇒Txn→Tx0\{x_n\}\subset D(T)\rightarrow x_0 \Rightarrow Tx_n\rightarrow Tx_0{xn}⊂D(T)→x0⇒Txn→Tx0

有界：存在M，∣∣Tx∣∣Y≤M∣∣x∣∣X,∀x∈D(T)||Tx||_\mathscr{Y}\leq M||x||_\mathscr{X},\forall x\in D(T)∣∣Tx∣∣Y≤M∣∣x∣∣X,∀x∈D(T)

定理：连续⇔\Leftrightarrow⇔有界

有界线性算子集：L(X,Y)\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})L(X,Y)，定义范数为∣∣T∣∣=sup⁡x∈X/θ∣∣Tx∣∣/∣∣x∣∣=sup⁡∣∣x∣∣=1∣∣Tx∣∣||T||=\sup_{x\in \mathscr{X}/\theta} ||Tx||/||x||=\sup_{||x||=1} ||Tx||∣∣T∣∣=supx∈X/θ∣∣Tx∣∣/∣∣x∣∣=sup∣∣x∣∣=1∣∣Tx∣∣，自然地可以在其上定义线性运算，且如果XB∗,YB\mathscr{X} B^*,\mathscr{Y} BXB∗,YB，则(L,∣∣⋅∣∣)B(\mathscr{L},||\cdot ||) B(L,∣∣⋅∣∣)B

Riesz表示定理：Hilbert空间上的连续线性泛函fff唯一对应于一个yf∈Xy_f\in \mathscr{X}yf∈X, s.t. f(x)=(x,yf)f(x)=(x,y_f)f(x)=(x,yf)（相当于对fff的零空间做垂直投影内积）

推论：如果为f也引入线性结构，则可以得到对共轭双线性函数用变换内积的表示定理：a(x,y)=(x,Ay)a(x,y)=(x,Ay)a(x,y)=(x,Ay)，根据Lax-Milgram定理，如果∣a(x,y)∣≤M∣∣x∣∣∣∣y∣∣,∣a(x,x)∣≥δ∣∣x∣∣2|a(x,y)|\leq M||x||||y||,|a(x,x)|\geq \delta ||x||^2∣a(x,y)∣≤M∣∣x∣∣∣∣y∣∣,∣a(x,x)∣≥δ∣∣x∣∣2，则还可以利用Banach定理证明A为有连续逆的连续线性算子，并且∣∣A−1∣∣≤1/δ||A^{-1}||\leq 1/\delta∣∣A−1∣∣≤1/δ

Radon-Nikodym定理：设 (Ω,B,μ),(Ω,B,ν)(\Omega, \mathcal{B}, \mu),(\Omega, \mathcal{B}, \nu)(Ω,B,μ),(Ω,B,ν) 是两个 σ\sigmaσ-有限测度，且 ν\nuν 关于 μ\muμ 绝对连续, 即E∈B,μ(E)=0⇒ν(E)=0,E \in \mathcal{B}, \mu(E)=0 \Rightarrow \nu(E)=0,E∈B,μ(E)=0⇒ν(E)=0,

则存在关于 μ\muμ 的可测函数 ggg, 且 g(x)⩾0g(x) \geqslant 0g(x)⩾0 a.e. μ\muμ, 使得ν(E)=∫Eg(x)dμ,∀E∈B\nu(E)=\int_{E} g(x) \mathrm{d} \mu, \forall E \in \mathcal{B}ν(E)=∫Eg(x)dμ,∀E∈B

线性算子求逆：

疏集：E⊂(X,ρ)E\subset (\mathscr{X},\rho)E⊂(X,ρ)称为疏集，若Eˉo=∅\bar{E}^o=\emptyEˉo=∅⇔\Leftrightarrow⇔ 对任意球，存在子闭球和Eˉ\bar{E}Eˉ的交为空

第一纲集：疏集的可列并 第二纲集：非第一纲集

Baire定理：完备度量空间必为第二纲集（思路：每个球都必然有子球与疏集无交=>构造球列）

T的性质与逆的关系：

若TTT为单射，则逆运算在R(T)R(T)R(T)上存在；若TTT为满射，则逆运算T−1∈L(Y,X)T^{-1} \in \mathscr{L}(\mathscr{Y},\mathscr{X})T−1∈L(Y,X)

Banach定理：T∈L(X,Y)T \in \mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})T∈L(X,Y)为双射且X,YB\mathscr{X},\mathscr{Y} BX,YB⇒T−1∈L(Y,X)\Rightarrow T^{-1}\in \mathscr{L}(\mathscr{Y},\mathscr{X})⇒T−1∈L(Y,X)

开映射定理：只要TTT是满射，TTT就是开映射（任意开集的像为开集）

思路：Y=∪i=1∞TU(θ,i)\mathscr{Y}=\cup_{i=1}^\infty TU(\theta ,i)Y=∪i=1∞TU(θ,i)，则由于完备=>第二纲=>存在i，使得TU(θ,i)TU(\theta,i)TU(θ,i)非疏，不妨设i=1=>闭包有内点，由对称性θ\thetaθ也为内点=>对y∈U(θ,δ)y\in U(\theta,\delta)y∈U(θ,δ)做逐次逼近，使得证明yyy的任何原像x∈U(θ,1)x\in U(\theta ,1)x∈U(θ,1)，则U(θ,δ)⊂TU(θ,1)U(\theta, \delta)\subset TU(\theta,1)U(θ,δ)⊂TU(θ,1)，从而命题得证

特别的，若T为单射，有T−1≤1/δT^{-1}\leq 1/\deltaT−1≤1/δ

在证明过程中有两处可以放宽要求：一个是只要像集为第二纲集，另一个逐次逼近的收敛只需要D(T)D(T)D(T)为闭算子而无需TTT有界（连续）

闭算子：线性算子TTT：{xn}⊂D(T),xn→x,Txn→y⇒x∈D(T),y=Tx\{x_n\}\subset D(T), x_n\rightarrow x, Tx_n\rightarrow y\Rightarrow x\in D(T), y=Tx{xn}⊂D(T),xn→x,Txn→y⇒x∈D(T),y=Tx（定义域不一定要是闭的）

广义开映射定理：只要TTT是闭线性算子，R(T)R(T)R(T)是第二纲集，就有TTT为满射和开映射

连续性和闭性的关联：

事实上，如果闭算子的定义域是闭的，则其为连续算子

推论：任何一个映射到Y\mathscr{Y}Y的连续线性算子都可以将R(T)R(T)R(T)延拓到R(T)ˉ\bar{R(T)}R(T)ˉ上

等价范数定理：如果线性空间X\mathscr{X}X关于两个范数都Banach，且一个比另一个强，则其必定等价

共鸣定理（一致有界定理）：如果XB,YB∗\mathscr{X}B,\mathscr{Y}B^*XB,YB∗，L(X,Y)\mathscr{L}(\mathscr{X},\mathscr{Y})L(X,Y)的子集WWW满足∀x∈X,sup⁡A∈W∣∣Ax∣∣≤∞\forall x \in \mathscr{X}, \sup_{A\in W} ||Ax||\leq \infty∀x∈X,supA∈W∣∣Ax∣∣≤∞，则存在常数M，∣∣A∣∣≤M,∀A||A||\leq M,\forall A∣∣A∣∣≤M,∀A（点点有界蕴含一致有界）

Banach-Steinhaus定理：如果XB,YB∗\mathscr{X}B,\mathscr{Y}B^*XB,YB∗, MMM 是 X\mathscr{X}X 的某个稠密子集. 若 An(n=1,2,⋯),A∈A_{n}(n=1,2, \cdots), A \inAn(n=1,2,⋯),A∈ L(X,Y)\mathscr{L}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})L(X,Y), 则 ∀x∈X\forall x \in \mathscr{X}∀x∈X 都有lim⁡n→∞Anx=Ax\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n} x=A xlimn→∞Anx=Ax当且仅当：(1) ∥An∥\left\|A_{n}\right\|∥An∥ 有界 (2)原式对 ∀x∈M\forall x \in M∀x∈M 成立

线性泛函的延拓与凸集分离

实 Hahn-Banach 定理：设 X\mathscr{X}X 是实线性空间， ppp 是定义在 X\mathscr{X}X 上的次线性泛函, X0\mathscr{X}_{0}X0 是 X\mathscr{X}X 的实线性子空间, f0f_{0}f0 是 X0\mathscr{X}_{0}X0 上的实线性泛函并满足 f0(x)⩽p(x)(∀x∈X0)f_{0}(x) \leqslant p(x)\left(\forall x \in \mathscr{X}_{0}\right)f0(x)⩽p(x)(∀x∈X0). 那么 X\mathscr{X}X 上必有一个实线性泛函 fff，满足: (1) $f(x) \leqslant p(x) (\forall x \in \mathscr{X}) $ (受 ppp 控制条件) (2) f(x)=f0(x)(∀x∈X0)f(x)=f_0(x) \left(\forall x \in \mathscr{X}_0\right)f(x)=f0(x)(∀x∈X0) (延拓条件)

构造方法：随意取yi∈X/Xi−1y_i\in \mathscr{X}/\mathscr{X}_{i-1}yi∈X/Xi−1，将函数延拓到λyi{\lambda y_i}λyi上，再用控制条件推导出fi(yi)f_i(y_i)fi(yi)的上下界，并且计算之，取在其中即可

复Hahn-Banach定理：对所有出现在不等式中的f0(x)f_0(x)f0(x)修改为∣f0(x)∣|f_0(x)|∣f0(x)∣。构造：先按照实的方法构造g0(x)=Ref0(x)g_0(x)=Re f_0(x)g0(x)=Ref0(x)，再令f(x)=g(x)−ig(ix)f(x)=g(x)-ig(ix)f(x)=g(x)−ig(ix)

Hahn-Banach定理：设 X\mathscr{X}X 是 B∗B^{*}B∗ 空间, X0\mathscr{X}_{0}X0 是 X\mathscr{X}X 的线性子空间, f0f_{0}f0 是定义在 X0\mathscr{X}_{0}X0 上的有界线性泛函, 则在X\mathscr{X}X上必有有界线性泛函 fff 满足: (1) f(x)=f0(x)on X0f(x)=f_{0}(x) \text{ on } \mathscr{X}_0f(x)=f0(x) on X0 (延拓条件) (2) ∥f∥=∥f0∥0\|f\|=\left\|f_{0}\right\|_{0}∥f∥=∥f0∥0 (保范条件)：其中 ∥f0∥0\left\|f_{0}\right\|_{0}∥f0∥0 表示 f0f_{0}f0 在 X0\mathscr{X}_{0}X0 上的范数（线性泛函的界限相当于构造了一个将其夹在内部的投影）

推论：B∗B^*B∗空间中，∀x0≠θ,∃f∈X∗,f(x0)=∣∣x0∣∣,∣∣f∣∣=1\forall x_0\neq \theta, \exists f\in \mathscr{X}^*, f(x_0)=||x_0||, ||f||=1∀x0=θ,∃f∈X∗,f(x0)=∣∣x0∣∣,∣∣f∣∣=1，即一个元素为其零元当且仅当对任意线性泛函像为0

推论：B∗B^*B∗空间中，M为线性子空间，且任意x0x_0x0，d=ρ(x0,M)d=\rho(x_0,M)d=ρ(x0,M)，必定存在fff，使得(1) f(x)=0(∀x∈M)f(x)=0(\forall x \in M)f(x)=0(∀x∈M) (2) f(x0)=df\left(x_{0}\right)=df(x0)=d (3) ∥f∥=1\|f\|=1∥f∥=1

凸集分离：

超平面：极大线性子空间（距离X只差1维）的流形；任意非零（连续）线性泛函的等值面必定为一个（闭）超平面（连续：f(xn)=r,xn→xf(x_n)=r,x_n\rightarrow xf(xn)=r,xn→x，则f(x)=rf(x)=rf(x)=r）

Hahn-Banach定理的几何形式：如果E是以实B∗B^*B∗空间θ\thetaθ为内点的真凸子集，且x0∉Ex_0\notin Ex0∈/E，则必定存在一个超平面分离x0x_0x0和E

（事实上，该超平面由E定义的Minkowvski泛函p对应的控制线性泛函f给出：集合内f≤p≤1f\leq p\leq 1f≤p≤1，集合外p≥1p\geq 1p≥1）

凸集分离定理：设 E1E_{1}E1 和 E2E_{2}E2 是 B∗B^{*}B∗ 空间中两个互不相交的非空凸集, E1E_{1}E1 有内点, 那么 ∃s∈R\exists s \in \mathbb{R}∃s∈R 及非零连续线性泛函 fff, 使得超平面 HfsH_{f}^{s}Hfs 分离 E1E_{1}E1 和 E2E_{2}E2

注：由于f连续，事实上结论可以加强到只需E1o∩E2=∅E_1^o\cap E_2=\emptyE1o∩E2=∅

推论：Ascoli定理：闭凸集分离：f(x)<α<f(x0)f(x)<\alpha<f(x_0)f(x)<α<f(x0)（由于闭性，内点由x0x_0x0取得，无需含内点）

在有内点的闭凸集中，每个边界点都可以做一个承托超平面

共轭空间：B∗B^*B∗空间X\mathscr{X}X上的全体连续线性泛函按照泛函范数构成的B空间(X,∣∣⋅∣∣)(\mathscr{X},||\cdot ||)(X,∣∣⋅∣∣)称为X\mathscr{X}X的共轭空间

定理：Lp(Ω,B,μ)∗=Lq(Ω,B,μ)(1⩽p<∞)L^{p}(\Omega, \mathscr{B}, \mu)^{*}=L^{q}(\Omega, \mathscr{B}, \mu) \quad(1 \leqslant p<\infty)Lp(Ω,B,μ)∗=Lq(Ω,B,μ)(1⩽p<∞)

第二共轭空间：X∗∗\mathscr{X}^{**}X∗∗: ∀x∈X,\forall x\in \mathscr{X},∀x∈X, 定义X(f)=⟨f,x⟩X(f)=\langle f,x\rangleX(f)=⟨f,x⟩为X∗\mathscr{X}^*X∗上的线性泛函，∣∣X∣∣≤∣∣x∣∣||X||\leq ||x||∣∣X∣∣≤∣∣x∣∣，称T:x↦XT:x\mapsto XT:x↦X为自然映射，构造了X\mathscr{X}X到X∗∗\mathscr{X}^{**}X∗∗的一个连续嵌入和线性同构，且根据Hahn-Banach，TTT是等距的

自反：若自然映射T为满射，即X=X∗∗\mathscr{X}=\mathscr{X}^{**}X=X∗∗，则称为自反空间

共轭算子：（利用对偶关系对矩阵转置的推广）设 X,Y\mathscr{X}, \mathscr{Y}X,Y 是 B∗B^{*}B∗ 空间, 算子 T∈T \inT∈ L(X,Y)\mathscr{L}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})L(X,Y). 算子 T∗:Y∗→X∗T^{*}: \mathscr{Y}^{*} \rightarrow \mathscr{X}^{*}T∗:Y∗→X∗ 称为是 TTT 的共轭算子，若：⟨f,Tx⟩=⟨T∗f,x⟩\lang f,Tx\rang =\lang T^*f,x\rang⟨f,Tx⟩=⟨T∗f,x⟩，容易证明其存在且唯一

定理：共轭映射∗:T↦T∗*:T\mapsto T^*∗:T↦T∗是线性的，且为L(X,Y)\mathscr{L}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})L(X,Y)到L(Y∗,X∗)\mathscr{L}(\mathscr{Y}^*, \mathscr{X}^*)L(Y∗,X∗)的等距同构

弱收敛：设X\mathscr{X}XB∗B^{*}B∗， {xn}⊂X,x∈X\left\{x_{n}\right\} \subset \mathscr{X}, x \in \mathscr{X}{xn}⊂X,x∈X, 称 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 弱收敛到 xxx, 记作 xn⇀xx_{n} \rightharpoonup xxn⇀x,若：对于 ∀f∈X∗\forall f \in \mathscr{X}^{*}∀f∈X∗ ，lim⁡n→∞f(xn)=f(x)\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(x)limn→∞f(xn)=f(x)，这时 xxx 称作点列 {xn}\left\{x_{n}\right\}{xn} 的弱极限

注：在空间的维数小于∞\infty∞时，弱收敛与强收敛等价；弱收敛极限唯一；强收敛若存在则为弱收敛，反之不然

Mazur定理：如果{xn}⇀x0\{x_n\}\rightharpoonup x_0{xn}⇀x0，则存在{yn∈co{x1,...,xn}}\{y_n\in co\{x_1,...,x_n\}\}{yn∈co{x1,...,xn}}（凸组合），使得yn→xy_n\rightarrow xyn→x

显然，X∗\mathscr{X}^*X∗上同样可以定义弱收敛，但是会涉及X∗∗\mathscr{X}^{**}X∗∗，为了避免，定义弱*收敛：{fn}→f\{f_n\}\rightarrow f{fn}→f，若∀x∈X,lim⁡fn(x)=f(x)\forall x\in \mathscr{X}, \lim f_n(x)=f(x)∀x∈X,limfn(x)=f(x)，并且在自反空间上弱收敛和弱*收敛相同

定理： xn→x(n→∞)x_{n} \rightarrow x(n \rightarrow \infty)xn→x(n→∞) 当且仅当： (1) ∥xn∥\left\|x_{n}\right\|∥xn∥ 有界 (2) 对 X∗\mathscr{X}^{*}X∗ 中的一个稠密子集 M∗M^{*}M∗ 上的一切 fff 都有lim⁡n→∞f(xn)=f(x)\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(x)limn→∞f(xn)=f(x)

（将xnx_nxn看成X∗\mathscr{X}^*X∗上的有界线性泛函(xn,f)=f(xn)(x_n,f)=f(x_n)(xn,f)=f(xn)即可，用Steinhaus定理）；fnf_nfn类似有该定理

连续线性算子的各种收敛性：

设X,Y\mathscr{X}, \mathscr{Y}X,Y 是 B∗B^{*}B∗ 空间. 又设 Tn(n=1,2,⋯)T_{n}(n=1,2, \cdots)Tn(n=1,2,⋯), T∈L(X,Y)T \in \mathscr{L}(\mathscr{X}, \mathscr{Y})T∈L(X,Y)
(1)一致收敛：Tn⇉TT_{n} \rightrightarrows TTn⇉T：若∥Tn−T∥→0\left\|T_{n}-T\right\| \rightarrow 0∥Tn−T∥→0
(2)强收敛：Tn→TT_{n} \rightarrow TTn→T：若 ∥(Tn−T)x∥→0(∀x∈X)\left\|\left(T_{n}-T\right) x\right\| \rightarrow 0(\forall x \in \mathscr{X})∥(Tn−T)x∥→0(∀x∈X),
(3)弱收敛：Tn⇀TT_{n} \rightharpoonup TTn⇀T：若对于 ∀x∈X\forall x \in \mathscr{X}∀x∈X, 以及 ∀f∈Y∗\forall f \in \mathscr{Y}^{*}∀f∈Y∗ 都有lim⁡n→∞f(Tnx)=f(Tx)\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(T_{n} x\right)=f(T x)limn→∞f(Tnx)=f(Tx)

eg：空间l2l^2l2上的左移算子Tn→0T^n\rightarrow 0Tn→0，右移算子Sn⇀0S^n\rightharpoonup 0Sn⇀0

Banach定理：X∗\mathscr{X}^*X∗若可分，则X\mathscr{X}X可分

Pettis定理：自反空间的闭子空间必定自反

Eberlein-Smulian定理：自反空间的单位（闭）球弱（自）列紧

弱收敛但不强收敛的三种行为：振荡，平移，集中

线性算子的谱：（线性映射的特征值推广）

特征值：在复BBB空间X\mathscr{X}X上考察闭线性算子A:D(A)→XA:D(A)\rightarrow \mathscr{X}A:D(A)→X，称λ\lambdaλ为特征值，若∃x0∈D(A)/θ,Ax0=λx0\exists x_0\in D(A)/\theta, Ax_0=\lambda x_0∃x0∈D(A)/θ,Ax0=λx0，x0x_0x0称为对应特征元

预解集：ρ(A)≜{λ∈C∣(λI−A)−1∈L(X)}\rho(A) \triangleq\left\{\lambda \in \mathbb{C} \mid(\lambda I-A)^{-1} \in \mathscr{L}(\mathscr{X})\right\}ρ(A)≜{λ∈C∣(λI−A)−1∈L(X)}，其中的λ\lambdaλ称为正则值（regular，与singular相对）

当空间维数有限时，根据线性代数，∀λ∈C\forall \lambda \in C∀λ∈C只有两种情况：要么是特征值，要么是正则值

但是空间维数无限时，则有很多种情形：正则值为情形2，对应ρ\rhoρ，非正则分三种情形(1)(3)(4)，对应σp,σc,σr\sigma_p,\sigma_c,\sigma_rσp,σc,σr

(1) (λI−A)−1(\lambda I-A)^{-1}(λI−A)−1 不存在. 这相当于 λ\lambdaλ 是特征值: σp(A)\sigma_p(A)σp(A)
(2) (λI−A)−1(\lambda I-A)^{-1}(λI−A)−1 存在, 且值域 R(λI−A)≜(λI−A)D(A)=XR(\lambda I-A) \triangleq(\lambda I-A) D(A)=\mathscr{X}R(λI−A)≜(λI−A)D(A)=X，这相当于 λ\lambdaλ 是正则值（Banach逆算子定理）：ρ(A)\rho(A)ρ(A)
(3) (λI−A)−1(\lambda I-A)^{-1}(λI−A)−1 存在, R(λI−A)≠XR(\lambda I-A) \neq \mathscr{X}R(λI−A)=X, 但 R(λI−A)‾=X\overline{R(\lambda I-A)}=\mathscr{X}R(λI−A)=X. 对于这部分 λ\lambdaλ, 我们称其为 AAA 的连续谱.
(4) (λI−A)−1(\lambda I-A)^{-1}(λI−A)−1 存在, 且 R(λI−A)‾≠X\overline{R(\lambda I-A)} \neq \mathscr{X}R(λI−A)=X, 这部分 λ\lambdaλ 称为 AAA 的剩余谱.
记 σ(A)≜C\ρ(A)\sigma(A) \triangleq \mathbb{C} \backslash \rho(A)σ(A)≜C\ρ(A), 并称 σ(A)\sigma(A)σ(A) 为 AAA 的谱集，σ(A)\sigma(A)σ(A) 中的点称为 AAA 的谱点. 对应于情形 (1) 中的那部分 λ\lambdaλ 的集合, 记作 σp(A)\sigma_{p}(A)σp(A), 称为 AAA 的点谱. AAA 的连续谱记作 σc(A),A\sigma_{c}(A), Aσc(A),A 的剩余谱记作 σr(A)\sigma_{r}(A)σr(A)，显然σ(A)=σp(A)∪σc(A)∪σr(A)\sigma(A)=\sigma_{p}(A) \cup \sigma_{c}(A) \cup \sigma_{r}(A)σ(A)=σp(A)∪σc(A)∪σr(A)

预解式：算子值函数 Rλ(A):ρ(A)→L(X)R_{\lambda}(A): \rho(A) \rightarrow \mathscr{L}(\mathscr{X})Rλ(A):ρ(A)→L(X) 定义为λ↦(λI−A)−1(∀λ∈ρ(A)),\lambda \mapsto(\lambda I-A)^{-1} (\forall \lambda \in \rho(A)),λ↦(λI−A)−1(∀λ∈ρ(A)),称为AAA 的预解式（其实按照函数的标准写法应该写成RA(λ)R_A(\lambda)RA(λ)）

引理：设 T∈L(X),∥T∥<1T \in \mathscr{L}(\mathscr{X}),\|T\|<1T∈L(X),∥T∥<1, 则 (I−T)−1∈L(X)(I-T)^{-1} \in \mathscr{L}(\mathscr{X})(I−T)−1∈L(X), 并且∥(I−T)−1∥⩽11−∥T∥\left\|(I-T)^{-1}\right\| \leqslant \frac{1}{1-\|T\|}∥∥(I−T)−1∥∥⩽1−∥T∥1

推论：对于闭线性算子A，A，A，ρ(A)\rho(A)ρ(A)为开集

第一预解公式：λ,μ∈ρ(A)⇒Rλ(A)−Rμ(A)=(μ−λ)Rλ(A)Rμ(A)\lambda,\mu\in \rho(A) \Rightarrow R_{\lambda}(A)-R_{\mu}(A)=(\mu-\lambda) R_{\lambda}(A) R_{\mu}(A)λ,μ∈ρ(A)⇒Rλ(A)−Rμ(A)=(μ−λ)Rλ(A)Rμ(A)

定理：预解式在ρ(A)\rho(A)ρ(A)内是算子值解析函数

从而：根据Louville定理，有界线性算子的谱集非空（否则可以推出∣∣Rλ(A)∣∣||R_\lambda(A) ||∣∣Rλ(A)∣∣有界）

谱半径：有界线性算子A的谱半径为：rσ(A)≜sup⁡{∣λ∣∣λ∈σ(A)}r_{\sigma}(A) \triangleq \sup \{|\lambda| \mid \lambda \in \sigma(A)\}rσ(A)≜sup{∣λ∣∣λ∈σ(A)}

显然，rσ(A)≤∣∣A∣∣r_{\sigma}(A) \leq ||A||rσ(A)≤∣∣A∣∣，因为当λ>∣∣A∣∣\lambda> ||A||λ>∣∣A∣∣时，(λI−A)=λ(I−A/λ)(\lambda I-A)=\lambda(I-A/\lambda)(λI−A)=λ(I−A/λ)必然有逆；并且根据Cauchy-Hadamard收敛半径公式，有Gelfand定理：rσ(A)=lim sup⁡n→∞∥An∥1nr_\sigma (A)=\limsup_{n \rightarrow \infty}\left\|A^{n}\right\| \frac{1}{n}rσ(A)=n→∞limsup∥An∥n1

计算三种谱的常用技巧：

特征值⇔\Leftrightarrow⇔ 求解(λI−A)x=0(\lambda I-A)x=0(λI−A)x=0何时必定有解⇔λ∈σp(A)\Leftrightarrow \lambda\in \sigma_p(A)⇔λ∈σp(A)
非特征值$\Leftrightarrow 单射单射单射\Leftrightarrow N(\lambda I-A)={\theta}$
满射⇔R(λI−A)=X⇔(λI−A)−1\Leftrightarrow R(\lambda I-A)=\mathscr{X}\Leftrightarrow (\lambda I-A)^{-1}⇔R(λI−A)=X⇔(λI−A)−1存在⇔\Leftrightarrow⇔ λ∈ρ(A)\lambda \in \rho(A)λ∈ρ(A)
连续谱⇔R(λI−A)‾⊥={θ}⇔N(λˉI−A∗)={θ}\Leftrightarrow \overline{R(\lambda I-A)}^\perp=\{\theta\}\Leftrightarrow {N(\bar{\lambda} I-A^*)}=\{\theta\}⇔R(λI−A)⊥={θ}⇔N(λˉI−A∗)={θ}⇔λ∈σc(A)\Leftrightarrow \lambda \in \sigma_c(A)⇔λ∈σc(A)

即：λ∈σc(A)⇒λ∉σp(A∗)‾\lambda \in \sigma_c(A)\Rightarrow \lambda \notin \overline{\sigma_p(A^*)}λ∈σc(A)⇒λ∈/σp(A∗)

或者直接证明R(λI−A)R(\lambda I-A)R(λI−A)在X\mathscr{X}X中稠密（构造）
剩下的部分：剩余谱

常见算子：

（正交投影算子）Hilbert空间X\mathscr{X}X上有闭线性子空间M上的正交分解x=y+zx=y+zx=y+z，则PM:x↦yP_M: x\mapsto yPM:x↦y记为M对应的正交投影

性质：(1)∣∣PM∣∣=1||P_M||=1∣∣PM∣∣=1 (2)$L\perp M\Leftrightarrow P_LP_M=0 $ (3)L=M⊥⇔PL+PM=IL=M^\perp \Leftrightarrow P_L+P_M=IL=M⊥⇔PL+PM=I (4) PLPM=PMPL⇔PLPM=PL∩MP_LP_M=P_MP_L \Leftrightarrow P_LP_M=P_{L\cap M}PLPM=PMPL⇔PLPM=PL∩M

（左推移算子）l2l^2l2上A:(x1,x2,...,xn,...)⇀(x2,...,xn,...)A: (x_1,x_2,...,x_n,...)\rightharpoonup (x_2,...,x_n,...)A:(x1,x2,...,xn,...)⇀(x2,...,xn,...)

性质：(1)∣∣A∣∣=1||A||=1∣∣A∣∣=1 (2)An→0A^n\rightarrow 0An→0 (3)和右推移算子共轭 (4) σp(A)={λ∈C∣∣λ<1},σc(A)={λ∈C∣∣λ∣=1},σr(A)=∅\sigma_p(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}|| \lambda<1\}, \sigma_{c}(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}|| \lambda \mid=1\},\sigma_r(A)=\varnothingσp(A)={λ∈C∣∣λ<1},σc(A)={λ∈C∣∣λ∣=1},σr(A)=∅

（右推移算子）l2l^2l2上A:(x1,x2,...,xn,...)⇀(0,x1,x2,...,xn,...)A: (x_1,x_2,...,x_n,...)\rightharpoonup (0,x_1,x_2,...,x_n,...)A:(x1,x2,...,xn,...)⇀(0,x1,x2,...,xn,...)

性质：(1)∣∣A∣∣=1||A||=1∣∣A∣∣=1 (2)An⇀0A^n\rightharpoonup 0An⇀0 (3)和左推移算子共轭 (4) σp(A)=∅,σr(A)={λ∈C∣∣λ∣<1}\sigma_{p}(A)=\varnothing, \sigma_{r}(A)=\{\lambda \in \mathbb{C}|| \lambda \mid<1\}σp(A)=∅,σr(A)={λ∈C∣∣λ∣<1}

（对称算子）Hilbert空间X\mathscr{X}X, A∈L(X)A \in \mathscr{L}(\mathscr{X})A∈L(X) 称为对称算子, 若 A∗=AA^{*}=AA∗=A，即(Ax,y)=(x,Ay)(∀x,y∈X)(A x, y)=(x, A y) \quad(\forall x, y \in \mathscr{X})(Ax,y)=(x,Ay)(∀x,y∈X)，则：

性质： σ(A)⊂R\sigma(A) \subset \mathbb{R}σ(A)⊂R, 且 σr(A)=∅\sigma_{r}(A)=\varnothingσr(A)=∅

对称算子在第三章有丰富的理论：由于A∗=AA^*=AA∗=A，故又称为自伴算子

定理：**H上的算子A对称⇔(Ax,x)∈R,∀x∈H\Leftrightarrow (Ax,x)\in \R,\forall x\in H⇔(Ax,x)∈R,∀x∈H **；若 AAA 对称, 则 σ(A)⊂R\sigma(A) \subset \mathbb{R}σ(A)⊂R, 并且有∥(λI−A)−1x∥⩽1∣Im⁡λ∣∥x∥(∀x∈H,∀λ∈C,Im⁡λ≠0).\begin{aligned} &\left\|(\lambda I-A)^{-1} x\right\| \leqslant \frac{1}{|\operatorname{Im} \lambda|}\|x\| \\ &(\forall x \in H, \forall \lambda \in \mathbb{C}, \operatorname{Im} \lambda \neq 0) . \end{aligned}∥∥(λI−A)−1x∥∥⩽∣Imλ∣1∥x∥(∀x∈H,∀λ∈C,Imλ=0).

对称算子限制在闭不变子空间上仍然对称；对称算子的各个特征向量空间正交：λ,λ′∈σp(A),λ≠λ′,则 N(λI−A)⊥N(λ′I−A)\begin{aligned} &\lambda, \lambda^{\prime} \in \sigma_{p}(A), \lambda \neq \lambda^{\prime}, \text { 则 } \\ &N(\lambda I-A) \perp N\left(\lambda^{\prime} I-A\right) \end{aligned}λ,λ′∈σp(A),λ=λ′, 则 N(λI−A)⊥N(λ′I−A)

关于对称紧算子可以做分解：若 AAA 是 Hilbert 空间 HHH 上的对称紧算子, 则至多有可数个非零的, 只可能以 0 为聚点的实数 {λi}\left\{\lambda_{i}\right\}{λi}, 它们是算子 AAA 的特征值, 并对应一组正交规范基 {ei}\left\{e_{i}\right\}{ei}, 使得x=∑(x,ei)eiAx=∑λi(x,ei)ei.\begin{aligned} x &=\sum\left(x, e_{i}\right) e_{i} \\ A x &=\sum \lambda_{i}\left(x, e_{i}\right) e_{i} . \end{aligned}xAx=∑(x,ei)ei=∑λi(x,ei)ei.

（极小极大刻画)：设 AAA 是对称紧算子, 对应有特征值λ1+≥λ2+≥...≥0,λ1−≤λ2−≤...≤0\lambda_1^+ \geq\lambda_2^+\geq...\geq 0, \lambda_1^-\leq \lambda_2^-\leq ...\leq 0λ1+≥λ2+≥...≥0,λ1−≤λ2−≤...≤0, 则
λn+=inf⁡En−1sup⁡x∈En−1⊥x≠θ(Ax,x)(x,x),λn−=sup⁡En−1inf⁡x∈En−1⊥x≠θ(Ax,x)(x,x)\lambda_{n}^{+}=\inf _{E_{n-1}} \sup _{x \in E_{n-1}^{\perp} x \neq \theta} \frac{(A x, x)}{(x, x)}, \lambda_{n}^{-}=\sup _{E_{n-1}} \inf _{x \in E_{n-1}^{\perp} x \neq \theta} \frac{(A x, x)}{(x, x)}λn+=infEn−1supx∈En−1⊥x=θ(x,x)(Ax,x),λn−=supEn−1infx∈En−1⊥x=θ(x,x)(Ax,x)
其中 En−1E_{n-1}En−1 是 HHH 的任意 n−1n-1n−1 维闭线性子空间

常见泛函：

（Dirichlet泛函与弱解的存在唯一性）要求解Dirichlet方程：u∣∂Ω=0,Δu=fu|_{\partial\Omega} =0, \Delta u=fu∣∂Ω=0,Δu=f，首先定义H01(Ω)H_0^1(\Omega)H01(Ω)上的弱解u:∀v,∫Ω∇u∇vdx=∫Ωfvdxu: \forall v, \int_\Omega \nabla u\nabla v dx=\int_\Omega fv dxu:∀v,∫Ω∇u∇vdx=∫Ωfvdx

为了证明弱解存在唯一，由Poincare不等式，空间上有内积(u,v)1=∫Ω∇u∇vdx(u,v)_1=\int _\Omega \nabla u \nabla v dx(u,v)1=∫Ω∇u∇vdx，且T:v↦∫fvdxT: v\mapsto \int fv dxT:v↦∫fvdx为一个连续线性泛函，因此由Riesz定理，∃!u0,∫Ω∇u0∇vdx=(u0,v)1=T(v)=∫fvdx\exists! u_0, \int_\Omega \nabla u_0\nabla v dx=(u_0,v)_1=T(v)=\int fvdx∃!u0,∫Ω∇u0∇vdx=(u0,v)1=T(v)=∫fvdx，即可证明弱解u0u_0u0的存在唯一性

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