线性代数：矩阵运算常用公式

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1 转置（Transpose）

(A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT(\mathbf A + \mathbf B)^T = \mathbf A^T + \mathbf B^T \\ (\mathbf A \mathbf B)^T = \mathbf B^T \mathbf A^T (A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT

2 逆 (Inverse)

(AB)−1=B−1A−1(AT)−1=(A−1)T(\mathbf A \mathbf B)^{-1} = \mathbf B^{-1} \mathbf A^{-1} \\ (\mathbf A^T)^{-1} = (\mathbf A^{-1})^T (AB)−1=B−1A−1(AT)−1=(A−1)T

注：一般矩阵为方阵且可逆时，才能做逆运算。

3 行列式 (Determinant)

A\mathbf AA为nnn行nnn列的方阵。
det(A)=λ1λ2⋯λn,λi为A的特征值.det(AT)=det(A)det(A−1)=1det(A)det(cA)=cndet(A)det(An)=det(A)n{\rm det} (\mathbf A) = \lambda_1\lambda_2 \cdots \lambda_n ,~~ \lambda_i为\mathbf A的特征值. \\ {\rm det} (\mathbf A ^T) = {\rm det} (\mathbf A) \\ {\rm det} (\mathbf A ^{-1}) = \frac1{{\rm det} (\mathbf A)} \\ {\rm det} (c \mathbf A) = c^n {\rm det} (\mathbf A) \\ {\rm det} (\mathbf A ^n) = {\rm det} (\mathbf A)^n det(A)=λ1λ2⋯λn, λi为A的特征值.det(AT)=det(A)det(A−1)=det(A)1det(cA)=cndet(A)det(An)=det(A)n
由第2条性质可知，若A\mathbf AA是正交矩阵，即ATA=I\mathbf A^T \mathbf A = \mathbf IATA=I。有det(ATA)=det(A)2=det(I)=1{\rm det} (\mathbf A ^T \mathbf A) = {\rm det} (\mathbf A)^2 = {\rm det} (\mathbf I) = 1det(ATA)=det(A)2=det(I)=1，故正交矩阵的行列式一定为det(A)=±1{\rm det} (\mathbf A) = ±1det(A)=±1。

4 迹 (Trace)

A\mathbf AA为nnn行nnn列的方阵[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤。

矩阵的迹的定义式为主对角线元素之和。
tr(A)=a11+a22+⋯+ann{\rm tr} (\mathbf A) = a_{11}+ a_{22} +\cdots + a_{nn} tr(A)=a11+a22+⋯+ann
矩阵的迹还等于其特征值的和。
tr(A)=λ1+λ2+⋯+λn,λi为A的特征值.{\rm tr} (\mathbf A) = \lambda_1+\lambda_2 +\cdots +\lambda_n ,~~ \lambda_i为\mathbf A的特征值. tr(A)=λ1+λ2+⋯+λn, λi为A的特征值.
矩阵乘法运算的顺序不改变乘积的迹。
tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB){\rm tr} (\mathbf A \mathbf B \mathbf C) = {\rm tr} (\mathbf B \mathbf C \mathbf A) = {\rm tr} (\mathbf C \mathbf A \mathbf B) tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)
矩阵的和的迹等于迹的和。
tr(A+B)=tr(A)+tr(B){\rm tr} (\mathbf A + \mathbf B) = {\rm tr} (\mathbf A) + {\rm tr} (\mathbf B) tr(A+B)=tr(A)+tr(B)
a\mathbf aa为nnn行的列向量[a1a2⋮an]\begin{bmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\\ \end{bmatrix}⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an⎦⎥⎥⎥⎤。
aTa=tr(aaT)=a12+a22+⋯+an2\mathbf a ^T \mathbf a = {\rm tr} (\mathbf a \mathbf a ^T) = a_{1}^2 + a_{2}^2 +\cdots + a_{n}^2 aTa=tr(aaT)=a12+a22+⋯+an2

参考资料

The Matrix Cookbook