2020年“深圳杯”数学建模挑战赛C题-无线可充电传感器网络充电路线规划
深圳杯2020——数学建模模拟赛——C题
文章目录
- 深圳杯2020——数学建模模拟赛——C题
- 依赖库
- 计算公式
- 感谢大神指点，原方案的经纬度换算有问题，故换成`geopy`库来解决
- 正确版本
- 先前错误版本
- 第一题
- 使用first solution strategy获得计算近似解
- 使用guided local search获得最优解
- 第二问：数值解法（numerical）
- 参数定义
- 等式
- 约束条件
- 根据约束条件得出线性方程组
- 参数设置
- 数值解结果
- 第二问：符号解法（symbolic）
- 第三问
- 参数设置
- 运行结果
- 结果有待优化
依赖库
- Google or-tools
- xlrd
- matplotlib
- sys
- numpy
- math
- sympy (符号计算)
- geopy（经纬度换算）
计算公式
感谢大神指点，原方案的经纬度换算有问题，故换成geopy库来解决
正确版本
def compute_euclidean_distance_matrix(locations):distances = {}for fromCounter, fromNode in enumerate(locations):distances[fromCounter] = {}for toCounter, toNode in enumerate(locations):if fromCounter == toCounter:distances[fromCounter][toCounter] = 0else:distances[fromCounter][toCounter] = geodesic(fromNode, toNode).metersreturn distances
先前错误版本
经度（东西方向）1M实际度：31544206M*cos(纬度)/360°=
31544206⋅cos(latitude=36)/360=708883.29m/longtitude31544206\cdot\cos(latitude=36)/360 = 708883.29m/longtitude31544206⋅cos(latitude=36)/360=708883.29m/longtitude
纬度（南北方向）1M实际度：40030173M360°=
40030173/360=111194.92m/latitude40030173/360 = 111194.92m/latitude40030173/360=111194.92m/latitude
第一题
使用first solution strategy获得计算近似解
求得结果
Route:0 -> 2 -> 1 -> 9 -> 7 -> 6 -> 11 -> 14 -> 15 -> 27 -> 16 -> 13 -> 12 -> 8 -> 10 -> 5 -> 3 -> 28 -> 24 -> 23 -> 29 -> 26 -> 25 -> 18 -> 19 -> 20 -> 17 -> 21 -> 22 -> 4 -> 0
Distance: 12033m
使用guided local search获得最优解
求得结果
Route:0 -> 2 -> 1 -> 9 -> 7 -> 6 -> 14 -> 11 -> 8 -> 12 -> 15 -> 27 -> 16 -> 13 -> 10 -> 5 -> 3 -> 4 -> 22 -> 28 -> 24 -> 23 -> 21 -> 29 -> 26 -> 25 -> 18 -> 19 -> 20 -> 17 -> 0
Distance: 11469m
第二问：数值解法（numerical）
要使传感器一直工作的最低要求：在移动电源走完一整个回路后，电池容量刚好达到最低要求为最优
假设初始条件：当到达该节点时，剩余电池容量刚好为最低要求
参数定义
- x1,x2,⋯,x30x_1,x_2,\cdots,x_{30}x1,x2,⋯,x30：假设每个节点的电池容量
- c1,c2,⋯,c30c_1,c_2,\cdots,c_{30}c1,c2,⋯,c30：每个节点的电池消耗速度
- r(mA/s)r(mA/s)r(mA/s)：电池充电速度
- fff：最低工作电量
- v(m/s)v(m/s)v(m/s)：移动充电器移动速度
- dstdstdst：总路程
等式
- 时间总花费：ttot=dst/v+∑i=130(xi−f)/rit_{tot}=dst/v+\sum_{i=1}^{30}{(x_i - f)/r_i}ttot=dst/v+∑i=130(xi−f)/ri
- 电池容量推导：xi=ttot⋅ci+fx_i=t_{tot}\cdot c_i+fxi=ttot⋅ci+f
约束条件
去掉数据中心节点的充电计算
xi=[dst/v+∑i=230(xi−f)/ri]⋅ci+fx_{i} = [dst/v+\sum_{i=2}^{30}{(x_{i} - f)/r_i}]\cdot c_i+fxi=[dst/v+i=2∑30(xi−f)/ri]⋅ci+f
根据约束条件得出线性方程组
组合结果为一个29*29的矩阵：
[x2⋮x30]=[dst⋅c2v+f−f⋅c2r−⋯−f⋅c30r⋮dst⋅c30v+f−f⋅c2r−⋯−f⋅c30r]+[x2⋅c2r+⋯+x30⋅c30r⋮x2⋅c2r+⋯+x30⋅c30r]\left[ \begin{array}{l} \boldsymbol{x}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{x}_{30}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{\boldsymbol{dst}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{f}-\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}-\cdots -\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \vdots\\ \frac{\boldsymbol{dst}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{f}-\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}-\cdots -\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \frac{\boldsymbol{x}_2\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}+\cdots +\frac{\boldsymbol{x}_{30}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \vdots\\ \frac{\boldsymbol{x}_2\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}+\cdots +\frac{\boldsymbol{x}_{30}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \end{array} \right] ⎣⎢⎡x2⋮x30⎦⎥⎤=⎣⎢⎡vdst⋅c2+f−rf⋅c2−⋯−rf⋅c30⋮vdst⋅c30+f−rf⋅c2−⋯−rf⋅c30⎦⎥⎤+⎣⎢⎡rx2⋅c2+⋯+rx30⋅c30⋮rx2⋅c2+⋯+rx30⋅c30⎦⎥⎤
化简：
[x2⋮x30]=[dst⋅c2v+f−f⋅c2r2−⋯−f⋅c30r30⋮dst⋅c30v+f−f⋅c2r2−⋯−f⋅c30r30]+[x2⋅c2r2+⋯+x30⋅c30r30⋮x2⋅c2r2+⋯+x30⋅c30r30]\left[ \begin{array}{l} \boldsymbol{x}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{x}_{30}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{\boldsymbol{dst}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{f}-\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}_2}-\cdots -\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}_{30}}\\ \vdots\\ \frac{\boldsymbol{dst}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{f}-\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}_2}-\cdots -\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}_{30}}\\ \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} \frac{\boldsymbol{x}_2\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}_2}+\cdots +\frac{\boldsymbol{x}_{30}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}_{30}}\\ \vdots\\ \frac{\boldsymbol{x}_2\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}_2}+\cdots +\frac{\boldsymbol{x}_{30}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}_{30}}\\ \end{array} \right] ⎣⎢⎡x2⋮x30⎦⎥⎤=⎣⎢⎡vdst⋅c2+f−r2f⋅c2−⋯−r30f⋅c30⋮vdst⋅c30+f−r2f⋅c2−⋯−r30f⋅c30⎦⎥⎤+⎣⎢⎡r2x2⋅c2+⋯+r30x30⋅c30⋮r2x2⋅c2+⋯+r30x30⋅c30⎦⎥⎤
转化成A⋅X=bA\cdot X = bA⋅X=b形式：
[c2r−1⋯c30r⋮⋱⋮c2r⋯c30r−1]⋅[x2⋮x30]=−[dst⋅c2v+f−f⋅c2r−⋯−f⋅c30r⋮dst⋅c30v+f−f⋅c2r−⋯−f⋅c30r]\left[ \begin{matrix} \frac{\boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}-1& \cdots& \frac{\boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ \frac{\boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}& \cdots& \frac{\boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}-1\\ \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{array}{l} \boldsymbol{x}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{x}_{30}\\ \end{array} \right] =-\left[ \begin{array}{c} \frac{\boldsymbol{dst}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{f}-\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}-\cdots -\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \vdots\\ \frac{\boldsymbol{dst}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{f}-\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}-\cdots -\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \end{array} \right] ⎣⎢⎡rc2−1⋮rc2⋯⋱⋯rc30⋮rc30−1⎦⎥⎤⋅⎣⎢⎡x2⋮x30⎦⎥⎤=−⎣⎢⎡vdst⋅c2+f−rf⋅c2−⋯−rf⋅c30⋮vdst⋅c30+f−rf⋅c2−⋯−rf⋅c30⎦⎥⎤
其中
A=[c2r−1⋯c30r⋮⋱⋮c2r⋯c30r−1],b=−[dst⋅c2v+f−f⋅c2r−⋯−f⋅c30r⋮dst⋅c30v+f−f⋅c2r−⋯−f⋅c30r]\boldsymbol{A}=\left[ \begin{matrix} \frac{\boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}-1& \cdots& \frac{\boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ \frac{\boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}& \cdots& \frac{\boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}-1\\ \end{matrix} \right] , \boldsymbol{b}=-\left[ \begin{array}{c} \frac{\boldsymbol{dst}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{f}-\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}-\cdots -\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \vdots\\ \frac{\boldsymbol{dst}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{v}}+\boldsymbol{f}-\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_2}{\boldsymbol{r}}-\cdots -\frac{\boldsymbol{f}\cdot \boldsymbol{c}_{30}}{\boldsymbol{r}}\\ \end{array} \right] A=⎣⎢⎡rc2−1⋮rc2⋯⋱⋯rc30⋮rc30−1⎦⎥⎤,b=−⎣⎢⎡vdst⋅c2+f−rf⋅c2−⋯−rf⋅c30⋮vdst⋅c30+f−rf⋅c2−⋯−rf⋅c30⎦⎥⎤
参数设置
- 速度v=50m/sv=50m/sv=50m/s
- 充电速度r=200mA/sr = 200mA/sr=200mA/s
- 最低工作值f=10mAf=10mAf=10mA
数值解结果
| nodes | battery capacity |
|---|---|
| 0 | 5145.627 |
| 1 | 5692.659 |
| 2 | 4940.490 |
| 3 | 5168.420 |
| 4 | 4735.353 |
| 5 | 4940.490 |
| 6 | 5373.557 |
| 7 | 4963.283 |
| 8 | 4940.490 |
| 9 | 5168.420 |
| 10 | 4940.490 |
| 11 | 5601.487 |
| 12 | 5396.350 |
| 13 | 4940.490 |
| 14 | 4780.939 |
| 15 | 4940.490 |
| 16 | 5168.420 |
| 17 | 5624.280 |
| 18 | 5168.420 |
| 19 | 4940.490 |
| 20 | 4712.560 |
| 21 | 5168.420 |
| 22 | 5624.280 |
| 23 | 4712.560 |
| 24 | 5168.420 |
| 25 | 4894.904 |
| 26 | 4735.353 |
| 27 | 5373.557 |
| 28 | 5145.627 |
第二问：符号解法（symbolic）
代码已经实现，但是矩阵渲染太大导致计算机崩溃，故此可以得出利用符号解求解该问题并没有意义。
第三问
参数设置
- 速度：v=50m/sv=50m/sv=50m/s
- 每辆车最多运行时间：100s100s100s
- 每个节点的时间窗：[0,70][0, 70][0,70]
运行结果
Route for vehicle 0:
0 Time(0,0) -> 2 Time(4,4) -> 9 Time(10,10) -> 6 Time(16,16) -> 14 Time(25,25) -> 11 Time(30,30) -> 8 Time(36,36) -> 12 Time(40,40) -> 15 Time(45,45) -> 27 Time(57,57) -> 16 Time(67,67) -> 0 Time(86,86)
Time of the route: 86 secondsRoute for vehicle 1:
0 Time(0,0) -> 1 Time(5,5) -> 7 Time(12,12) -> 20 Time(21,21) -> 19 Time(28,28) -> 18 Time(36,36) -> 25 Time(46,46) -> 26 Time(57,57) -> 29 Time(69,69) -> 0 Time(91,91)
Time of the route: 91 secondsRoute for vehicle 2:
0 Time(0,0) -> 5 Time(7,7) -> 10 Time(11,11) -> 13 Time(16,16) -> 3 Time(30,30) -> 0 Time(40,40)
Time of the route: 40 secondsRoute for vehicle 3:
0 Time(0,0) -> 17 Time(8,8) -> 21 Time(18,18) -> 23 Time(25,25) -> 24 Time(33,33) -> 28 Time(41,41) -> 22 Time(49,49) -> 4 Time(56,56) -> 0 Time(64,64)
Time of the route: 64 secondsTotal time of all routes: 281min
结果有待优化
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