【详解】P问题、NP问题和NPC问题详解（千禧年问题之首）

P就是能在多项式时间内解决的问题;

NP就是能在多项式时间验证答案正确与否的问题。

P是否等于NP实质上就是在问，如果对于一个问题我能在多项式时间内验证其答案的正确性，那么我是否能在多项式时间内解决它？

再说说NP-hardness和NP-completenes. 这里涉及一个概念，不妨称为问题之间的归约。可以认为各个问题的难度是不同的，表现形式为，如果我可以把问题A中的一个实例转化为问题B中的一个实例，然后通过解决问题B间接解决问题A，那么就认为B比A更难。通过对归约过程做出限制可以得到不同类型的归约。

这里的“问题”一般形式化为判定问题，如：三班是否有同学刷知乎。
P: 我能在多项式时间内判定三班是否有同学刷知乎。
NP: 我能在多项式时间内判定你给定的某个人（如：王二）是否证明了这个问题（王二在三班且王二刷知乎）。
也就是说，对于一个判定性问题，如果其能在多项式时间内得到判定，则是P的；如果能在多项式时间内验证一个证据（上文中的王二）是否证明出此问题，则其是NP的。

这里又要说道归约上了。如果A能用多项式次的B解决，称A能多项式归约到B。
比如说现在问题A为判定二年级是否有人刷知乎, 那我可以把这个问题规约到问题B:判定每个班级是否有人刷知乎。只要对二年级所有的班级做一边问题B，就能得到A的结果，如果这个次数是输入规模的多项式级别，我们认为A可以多项式规约到B。

NP问题有很多种，但若所有的NP问题都能多项式归约到问题X，X为NP hard，进一步如果X是NP的，称X是NP complete的。而事实上，的确所有的NP问题都可以规约到某一些NP问题，这类问题也就是经常出现的NP complete问题，比如TSP（旅行商）问题。

一般情况下非判定问题都可以转化为多项式时间次数的判定问题，所以P和NP的计算复杂度概念可以适用于几乎所有算法问题。现在可以知道，由于所有的NP问题都可以多项式规约到某一个NP Complete问题，所以只要一个NP Complete问题能在多项式时间内得到解决，那么所有的NP问题都可以在多项式时间内得到结局了。目前常见的计算机问题几乎都是NP的（多项式时间内能验证结果，大部分算法问题都满足），也就是说，如果能多项式解决某一个NP Complete问题，几乎所有的算法问题都能在多项式解决了，excited！

首先这些p和np都是用来描述解决一个问题需要的时间和它输入规模之间的关系…

P问题：

一个问题可以在多项式（O(n^k)）的时间复杂度内解决

例如：n个数的排序（不超过O(n^2)）

NP问题：

一个问题的解可以在多项式的时间内被证实或证伪

例如：典型的子集求和问题,给定一个整数集合求是否存在一个非空子集它的和为零。如给定集合s={-1,3,2,-5,6}，很明显子集{3,2,-5}能满足问题，并且验证该解只需要线性时间复杂度就能被证实。

NP-hard问题：

任意np问题都可以在多项式时间内归约为该问题。归约的意思是为了解决问题A，先将问题A归约为另一个问题B，解决问题B同时也间接解决了问题A。

例如，停机问题。

NPC问题：

既是NP问题，也是NP-hard问题。

例如，SAT问题（第一个NPC问题）。该问题的基本意思是，给定一系列布尔变量以及它的约束集，是否存在一个解使得它的输出为真。

相互关系：
显然，所有P问题都是NP问题，反之则不一定。npc问题是np问题的子集，也是p问题和np问题的差异所在。如果找到一个多项式内能被解决的npc问题的解决方法，那么P=NP。

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