1-out-2 OT

此次主要介绍如何实现一个半诚实模型下的1−out−21-out-21−out−2茫然传输，并简要证明其正确性和安全性。

协议

假设现在有一个发送方SSS和一个接受方RRR。SSS要传送两条信息,我们不妨设为两个比特b0b_0b0和b1b_1b1，而RRR只能选择接受其中一个比特bθb_\thetabθ。协议要保证SSS和RRR的安全，即:

SSS不能知道任何关于θ\thetaθ的信息；
RRR不能得知任关于b1−θb_{1-\theta}b1−θ的信息；

为了达成上面两点要求，构造如下协议：

SSS选择好两个比特信息b0b_0b0和b1b_1b1；
SSS运行密钥生成算法（例如RSARSARSA）生成公私钥对（sksksk,pkpkpk）；
SSS保密私钥，同时SSS要生成两个随机数x0x_0x0和x1x_1x1，并将这两个随机数和公钥一并传送给RRR；
RRR选择θ\thetaθ，并生成一个数rrr，RRR用SSS的公钥加密rrr，并生成信息v=xθ+Epk(r)v=x_\theta+E_{pk}(r)v=xθ+Epk(r)
RRR将生成的vvv传送给SSS；
SSS在接收到vvv之后，进行如下计算：r0=Dsk(v−x0)r_0=D_{sk}(v-x_0)r0=Dsk(v−x0)r1=Dsk(v−x1)r_1=D_{sk}(v-x_1)r1=Dsk(v−x1)
SSS进行如下计算：b0′=b0+r0b_0'=b_0+r_0b0′=b0+r0b1′=b1+r1b_1'=b_1+r_1b1′=b1+r1并将b0′b_0'b0′和b1′b_1'b1′传送给RRR；
接收到b0′b_0'b0′和b1′b_1'b1′之后，RRR进行如下计算：bθ=bθ′−rb_\theta=b_\theta'-rbθ=bθ′−r

正确性

进行如下推导：
bθ′−r=bθ+rθ−r=bθ+Dsk(v−xθ)−rb_\theta'-r=b_\theta+r_\theta-r=b_\theta+D_{sk}(v-x_\theta)-rbθ′−r=bθ+rθ−r=bθ+Dsk(v−xθ)−r而Dsk(v−xθ)=Dsk(xθ+Epk(r)−xθ)=Dsk(Epk(r))=rD_{sk}(v-x_\theta)=D_{sk}(x_\theta + E_{pk}(r)-x_\theta)=D_{sk}(E_{pk}(r))=rDsk(v−xθ)=Dsk(xθ+Epk(r)−xθ)=Dsk(Epk(r))=r因此可得bθ′−r=bθb_\theta'-r=b_\thetabθ′−r=bθ证毕。

安全性

安全性分别从发送者SSS和接收者RRR两个方面来分析。

对于SSS的安全性

对于SSS来说，它的安全性要求RRR不能推断出b1−θb_{1-\theta}b1−θ。RRR得到bθ′b_\theta'bθ′和b1−θ′b_{1-\theta}'b1−θ′之后，由协议可知RRR可以正确计算bθb_\thetabθ，下面证明RRR不能计算出b1−θb_{1-\theta}b1−θ。
b1−θ′−r=b1−θ+Dsk(v−xθ)−rb_{1-\theta}'-r=b_{1-\theta}+D_{sk}(v-x_\theta)-rb1−θ′−r=b1−θ+Dsk(v−xθ)−r而Dsk(v−xθ)=Dsk(x1−θ+Epk(r)−xθ)≠rD_{sk}(v-x_\theta)=D_{sk}(x_{1-\theta}+E_{pk}(r)-x_\theta)\neq rDsk(v−xθ)=Dsk(x1−θ+Epk(r)−xθ)̸=r而且根据加密的特性，Dsk(x1−θ+Epk(r)−xθ)−rD_{sk}(x_{1-\theta}+E_{pk}(r)-x_\theta)-rDsk(x1−θ+Epk(r)−xθ)−r与随机数是不可区分的，所以b1−θ′−rb_{1-\theta}'-rb1−θ′−r与随机数是不可区分的。因此协议对SSS是安全的。

对于RRR的安全性

RRR的安全性要求SSS不能获得关于θ\thetaθ任何有价值的信息。
因为rrr是随机数，所以Epk(r)E_{pk}(r)Epk(r)与随机数是不可区分的。因此vvv与随机数是不可区分的，所以SSS不能从vvv获得关于θ\thetaθ有价值的信息。

证毕。

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