求前n项平方数的和模板

忽明忽暗
走廊里有 n 盏灯，编号依次为 1,2,3,…,n，由学校电路控制中心管理。初始时，所有灯都是关闭的。某黑客入侵了学校电路控制中心，黑客想让灯忽明忽暗，进行了 n 轮操作。第 i 轮操作，会让所有编号为 i 的倍数的灯状态反转，也就是打开的变为关闭，关闭的变为打开。现在黑客想知道，n 轮操作后，所有亮着的灯的编号之和为多少。因为答案很大，只需输出答案对 10^9+7 取模的结果。

思路：模拟一下可以发现最后只有完全平方数的灯是亮的，因为只有完全平方数的因子是奇数个，所以该题就是求前 sqrt(n)项平方数和。

前 n 项平方数的和公式为： ans = n * (n + 1 ) * (2 * n + 1 ) / 6
由于 ans 很大且 a / b % c != a % c / b % c ，所以除以6 我们分解为 2 * 3 , n * ( n + 1 ) 一定是偶数，再判断 n * ( n + 1 ) 是否为 3 的倍数，如果不是，那么 n 和 n + 1 均不是 3 的倍数那么 n % 3 == 1，如果 n % 3 == 1 的话那么 2 * n + 1 一定是被 3 整除的。
综上可得：

 if( n * (n + 1) % 3 == 0){sum = n * (n + 1) / 6 % mod * (2 * n + 1) % mod;}else{sum = n * (n + 1) / 2 % mod * (2 * n + 1 ) / 3 % mod;}

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{long long n;cin >> n;long long  m = sqrt(n);long long  ans = m * (m + 1) / 2;if(ans % 3 == 0){ans = ans / 3 % mod * (2 * m + 1) % mod;}else{ans = ans % mod * (2 * m + 1) / 3 % mod ;}cout << ans << endl;return 0;
}

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