【数学】旋转后仍为函数图像问题

∣ 旋转后仍为函数图像问题 Nightguard Series. ∣ \begin{vmatrix}\huge{\textsf{ 旋转后仍为函数图像问题 }}\\\texttt{ Nightguard Series. }\end{vmatrix} ∣∣∣∣∣ 旋转后仍为函数图像问题 Nightguard Series. ∣∣∣∣∣

♣ 例1 \clubsuit \textsf{例1} ♣例1

f ( x ) = ln ⁡ ( x + 1 ) ( x ∈ ( 0 , + ∞ ) ) f(x)=\ln (x+1) (x\in(0,+\infin)) f(x)=ln(x+1)(x∈(0,+∞)) 的图像绕原点逆时针旋转 θ \theta θ 后仍为一个函数的图像，则 θ \theta θ 最大值为？

由函数的定义可知：一个 x x x 仅能对应一个 f ( x ) f(x) f(x) ，或者说过图像上的任意一点 P P P 做与 x x x 轴垂直的直线，则该直线与图像仅有一个交点 P P P 。结合函数图像，我们可以找出一个临界位置：

如图，当 f ( x ) = ln ⁡ ( x + 1 ) f(x)=\ln (x+1) f(x)=ln(x+1) 的图像旋转的时候，其在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 处的切线 l l l 也同时旋转。当 l ′ ∥ y l'\parallel y l′∥y 轴时，即到达临界状态，如果继续旋转，则图像与 y y y 轴有两个交点，图像将不再是一个函数的图像。

而 f ′ ( x ) = 1 / ( x + 1 ) f'(x)=1/(x+1) f′(x)=1/(x+1) ，求得 l : y = x l:y=x l:y=x，倾斜角为 π 4 \frac{\pi}{4} 4π ，因此 θ \theta θ 最大值为 π 4 \frac{\pi}{4} 4π。

♣ 例2 \clubsuit \textsf{例2} ♣例2

f ( x ) = sin ⁡ x ( x ∈ ( 0 , 2 π ) ) f(x)=\sin x (x\in(0,2\pi)) f(x)=sinx(x∈(0,2π)) 的图像绕原点顺时针旋转 θ \theta θ 后仍为一个函数的图像，则 θ \theta θ 最大值为？

与例1不同的是这题的临界状态与旋转中心处的切线无关：

如图，当 f ( x ) = sin ⁡ x f(x)=\sin x f(x)=sinx 的图像旋转的时候，其在 ( π , 0 ) (\pi,0) (π,0) 处的切线 l l l 也同时旋转。当 l ′ ∥ y l'\parallel y l′∥y 轴时，即到达临界状态。

而 f ′ ( x ) = cos ⁡ x f'(x)=\cos x f′(x)=cosx，求得 l : y = − x + π l:y=-x+\pi l:y=−x+π ， θ \theta θ 最大值为 π 4 \frac{\pi}{4} 4π。

到此，我们发现一个规律：

顺时针旋转看 f ′ ( x ) m i n f'(x)_{min} f′(x)min，逆时针旋转看 f ′ ( x ) m a x f'(x)_{max} f′(x)max

（应该是对的吧qaq）

♣ 例3 \clubsuit \textsf{例3} ♣例3

f ( x ) = ln ⁡ ( x + 1 ) ( x ∈ ( 0 , + ∞ ) ) f(x)=\ln (x+1)(x\in(0,+\infin)) f(x)=ln(x+1)(x∈(0,+∞)) 的图像绕点 Q ( 114 , 514 ) Q(114,514) Q(114,514) 逆时针旋转 θ \theta θ 后仍为一个函数的图像，则 θ \theta θ 最大值为？

由于一个函数图像任意平移后一定还是一个函数图像，因此它与绕 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 点旋转的情况其实没有区别：

同时这也提示了例2的另一种思路：把原图像平移为 f ( x ) = − sin ⁡ x ( x ∈ { − π , π } ) f(x)=-\sin x (x\in \{-\pi,\pi\}) f(x)=−sinx(x∈{−π,π}) ，可能会更好看一些。

♣ 例4 \clubsuit \textsf{例4} ♣例4（综合）

f ( x ) = x e x ( ( x ∈ ( 0 , + ∞ ) ) f(x)=\frac{x}{e^x} ((x\in(0,+\infin)) f(x)=exx((x∈(0,+∞)) 的图像绕原点逆时针旋转 θ \theta θ 后仍为一个函数的图像，则 θ \theta θ 取值范围是？

首先设 θ ∈ { − π , π } \theta \in\{-\pi,\pi\} θ∈{−π,π}

f ′ ( x ) = 1 − x e x f'(x)=\frac{1-x}{e^x} f′(x)=ex1−x

f ′ ′ ( x ) = x − 2 e x f''(x)=\frac{x-2}{e^x} f′′(x)=exx−2

x = 2 , f ′ ( x ) m i n = f ′ ( 2 ) = − 1 e 2 x=2,f'(x)_{min}=f'(2)=-\frac{1}{e^2} x=2,f′(x)min=f′(2)=−e21

∴ \therefore ∴ 逆时针方向上旋转最小角度为 − π 2 + arctan ⁡ ( 1 e 2 ) -\frac{\pi}{2}+\arctan(\frac{1}{e^2}) −2π+arctan(e21)

x = 0 , f ′ ( x ) m a x = f ′ ( 0 ) = 1 x=0,f'(x)_{max}=f'(0)=1 x=0,f′(x)max=f′(0)=1

∴ \therefore ∴ 逆时针方向上旋转最大角度为 π 4 \frac{\pi}{4} 4π

由周期性可知 θ ∈ [ k π − π 2 + arctan ⁡ ( 1 e 2 ) , k π + π 4 ] ， k ∈ Z . \theta \in[k\pi-\frac{\pi}{2}+\arctan(\frac{1}{e^2}),k\pi+\frac{\pi}{4}]，k\in \Z. θ∈[kπ−2π+arctan(e21),kπ+4π]，k∈Z.

【数学】旋转后仍为函数图像问题相关推荐

canvas clearRect后仍存在之前图像问题
画板clearRect后仍存在之前图像问题最近遇到的一个问题是: 利用onmousedown等鼠标按钮执行事件,在canvas画布上画出若干个图形后.要求点击某一个具体图形,能够将该图形从画布上清除 ...
图像中某点绕点旋转后的坐标，图像旋转坐标位置
图像中某点绕点旋转后的坐标,图像旋转坐标位置在平面坐标上,任意点P(x1,y1),绕一个坐标点Q(x2,y2)旋转θ角度后,新的坐标设为(x, y)的计算公式: x= (x1 - x2)*cos(θ ...
keil编写正弦函数_【高中数学】62个重要函数图像
关注↑↑↑获得更多精彩内容! 教育意味着获得不同的视角,理解不同的人.经历和历史. 接受教育,但不要让你的教育僵化成傲慢. 教育应该是思想的拓展,同理心的深化,视野的开阔. 它不应该使你的偏见变得更顽 ...
如何用数学课件制作工具绘制函数图像
作为专业的数学课件制作工具,数学老师用几何画板可以绘制函数图像.熟练掌握绘制函数图像的方法,对提高数学教学效率很有帮助.下面以画函数y=(1/4)x2在区间[-2,3]上的图像为例详细讲解画函数图像的 ...
如何用数学课件制作工具平移函数图像
在中学时代,学习函数时会研究其函数图像,一般还会将图像进行平移来研究它的性质,但是用黑板教学是无法对函数图像进行平移的,所以需要借助辅助工具,这里推荐使用几何画板课件制作工具,下面来一起学习具体制作技 ...
halcon旋转后坐标_基于FPGA的图像旋转设计
该项目是参加2019届全国大学生FPGA大赛的作品,系统主要实现视频任意角度旋转.利用国产的紫光同创公司的FPGA芯片作为开发平台,视频图像从摄像头实时采集,经过算法旋转后,通过hdmi接口显示.该项 ...
halcon旋转后坐标_FPGA大赛【八】具体模块设计图像旋转方案
[注]该项目是我们团队参加2019届全国大学生FPGA大赛的作品,系统主要实现视频任意角度旋转.该项目最终晋级决赛,并获得紫光同创企业特别奖.该系列文章介绍我们团队的作品.关注公众号"数字积 ...
python函数图像平移_[Python图像处理]六.图像缩放,图像旋转,图像翻转与图像平移...
图像缩放图像缩放主要是调用resize()函数实现,result = cv2.resize(src, dsize[, result[.fx, fy[,interpolation]]]) 其中src ...
爱心的数学函数方程_【函数图像】说笛卡尔心形图，是数学史上最美公式我不服，那是你不记得这个了...
美国密歇根大学数学系教授季里真说:数学是丰富而美丽的,无论内在还是外表都是多姿多彩的. 这种美不仅体现在数学各分支,或者数学与物理等学科间意想不到的联系.也来自于数学在各个学科中起到的巨大作用. 我们 ...

【数学】旋转后仍为函数图像问题

【数学】旋转后仍为函数图像问题相关推荐

最新文章

热门文章