根据从波源发出频率恒定的波到观察者后经多普勒效应得到的频率计算出其与波源的距离及速度变化

首先对于波(非光波)有多普勒效应公式：
f=v+v0v−vsFf=\frac{v+v_0}{v-v_s}Ff=v−vsv+v0F
其中fff是观察到的频率, vvv是波传播的速度, v0v_0v0是观察者速度, vsv_svs是波源的速度, F是原始频率
这里为了方便考虑计算，我们令观察者是静止的也就是v0=0v_0=0v0=0, 设我们观察到的波的频率函数是f(t)f(t)f(t), 波源与观察者距离为sss, 可得微分方程:
vv−dsdtF=f(t)\frac{v}{v-\frac{ds}{dt}}F=f(t)v−dtdsvF=f(t)
整理、分离变量得: 1Fdt−1f(t)dt=1Fvds\frac{1}{F}dt-\frac{1}{f(t)}dt=\frac{1}{Fv}dsF1dt−f(t)1dt=Fv1ds
两端积分: ∫1Fdt−∫1f(t)dt=∫1Fvds\int\frac{1}{F}dt-\int\frac{1}{f(t)}dt=\int\frac{1}{Fv}ds∫F1dt−∫f(t)1dt=∫Fv1ds
得到: 1Ft−∫1f(t)dt=1Fvs\frac{1}{F}t-\int\frac{1}{f(t)}dt=\frac{1}{Fv}sF1t−∫f(t)1dt=Fv1s
整理得: s=vt−Fv∫1f(t)dts=vt-Fv\int\frac{1}{f(t)}dts=vt−Fv∫f(t)1dt
这个便是波源与观察者距离的函数关系，我们可以验证下
考虑最简单的情况f(t)=Ff(t)=Ff(t)=F即频率不变，所以可以得到距离也应当是不变的，代进去验证:
s=vt−Fv∫1Fdt=vt−vt+C=Cs=vt-Fv\int\frac{1}{F}dt=vt-vt+C=Cs=vt−Fv∫F1dt=vt−vt+C=C
所以我们的推导是正确的!
再者，推导速度关系就很简单了，对s求导:
vs=dsdt=v−Fv1f(t)v_s=\frac{ds}{dt}=v-Fv\frac{1}{f(t)}vs=dtds=v−Fvf(t)1
验证下，同样考虑上面最简单的情况f(t)=Ff(t)=Ff(t)=F:
vs=v−Fv1F=v−v=0v_s=v-Fv\frac{1}{F}=v-v=0vs=v−FvF1=v−v=0
同样是正确的！
至此，我们就推导出了波源与观察者距离、速度的函数关系如何计算

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