C++内点法求解大规模线性规划问题——对标MATLAB中linprog函数

文章目录

C++内点法求解大规模线性规划问题——对标MATLAB中linprog函数
- 1. 项目场景
- 2. 约束的规范化
- 3. 输入格式
- 4. 如何构建模型
- 5. 如何使用

项目资源链接如下：https://download.csdn.net/download/weixin_46584887/86406561

1. 项目场景

对于如下大规模线性规划问题：

min⁡c1x1+c2x2+⋯+cnxns.t. a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bmx1,x2,…,xn≥0\begin{array}{rl} \min\ \ &c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n\\ \textrm{s.t.}\ \ &a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\ &a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\ &\dots\\ &a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m\\ &x_1,x_2,\dots,x_n\ge0 \end{array} min s.t. c1x1+c2x2+⋯+cnxna11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bmx1,x2,…,xn≥0

或者写成如下形式：

min⁡cxs.t. {Ax=bx≽0\min\ \bf{cx}\ \ \textrm{s.t.}\ \left\{\begin{array}{l}\bf Ax=b\\ \bf x\succcurlyeq 0\\ \end{array}\right. min cx s.t. {Ax=bx≽0

并且 A∈Rm×n,x∈Rn×1,b∈Rm×1\bf{A}\in R_{m\times n},x\in R_{n\times 1},b\in R_{m\times 1}A∈Rm×n,x∈Rn×1,b∈Rm×1.

2. 约束的规范化

对于缺乏非负约束的变量 xix_ixi，我们做出如下转化：
- xi=xi1−xi2x_i=x_{i1}-x_{i2}xi=xi1−xi2
- xi1≥0,xi2≥0x_{i1}\ge0,x_{i2}\ge0xi1≥0,xi2≥0
对于不等式约束，我们也需要将其松弛为等式约束:
- ∑j=0naijxj≤bi\sum_{j=0}^{n}a_{ij}x_{j}\le b_i∑j=0naijxj≤bi 或者 ∑j=0naijxj≥bi\sum_{j=0}^{n}a_{ij}x_{j}\ge b_i∑j=0naijxj≥bi
- xn+i±∑j=0naijxj=bi,xn+i≥0x_{n+i}\pm\sum_{j=0}^{n}a_{ij}x_{j}=b_i, x_{n+i}\ge 0xn+i±∑j=0naijxj=bi,xn+i≥0

3. 输入格式

代码从文本文件中读取数据(data.txt):

该文本文件的第一行包含两个整数, m and n, 分别代表约束个数与变量个数
第二行的 n 个元素代表目标函数中变量前的系数 cic_ici
接下来 m 行每行包括 n + 1 个元素, 每行的前 n 个元素代表变量前的系数 aija_{ij}aij,，最后一个元素代表 bib_ibi

举个例子，对于如下线性规划问题:

max⁡5x1+10x2s.t.8x1+8x2≤1604x1+12x2≤180x1≤15x1,x2≥0\begin{array}{rl} \max&5x_1+10x_2\\ \textrm{s.t.}&8x_1+8x_2\le 160\\ &4x_1+12x_2\le180\\ &x_1\le15\\ &x_1,x_2\ge0 \end{array} maxs.t.5x1+10x28x1+8x2≤1604x1+12x2≤180x1≤15x1,x2≥0

我们首先要将其转换为如下形式:

min⁡−5x1−10x2s.t.8x1+8x2+x3=1604x1+12x2+x4=180x1+x5=15x1,x2,x3,x4,x5≥0\begin{array}{rl} \min&-5x_1-10x_2\\ \textrm{s.t.}&8x_1+8x_2+x_3= 160\\ &4x_1+12x_2+x_4=180\\ &x_1+x_5=15\\ &x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\ge0 \end{array} mins.t.−5x1−10x28x1+8x2+x3=1604x1+12x2+x4=180x1+x5=15x1,x2,x3,x4,x5≥0

接着输入文件 data.txt 中的内容应如下:

3 5
-5 -10 0 0 0
8 8 1 0 0 160
4 12 0 1 0 180
1 0 0 0 1 15

应注意的是，在上述情况下获得的求解结果不是特别精确。对于小规模模型的求解，我们可以尝试使用一些整数规划解算器，例如 Google 的 OR-Tools，或者使用单纯形法来求解。

对于大规模线性规划问题（包括整数和浮点数），代码的求解精度是不错的。

4. 如何构建模型

确保你的电脑中有这些编译工具，以 Ubuntu 为例:

sudo apt install build-essential cmake make

接着进入项目目录，执行如下命令：

cd LinprogSolver4C && cmake CMakeLists.txt

可以看见目录中生成了 Makefile 文件，你可以使用 make 工具获得可执行文件:

make

5. 如何使用

在目录中构建出可执行文件之后，其用法如下：

./linprog data.txt # any data paths

在终端中可以得到如下输出:

1LP problem:Iter  Residual        Mu    Alphax    Alphas0  2.70e-01  1.54e+00       ---       ---1  1.24e-03  6.01e-02  1.00e+00  1.00e+002  7.97e-08  3.86e-06  1.00e+00  1.00e+003  3.99e-12  1.93e-10  1.00e+00  1.00e+004  2.06e-16  9.66e-15  1.00e+00  1.00e+00----------------------------Optx:1       7.52        123   2.4e-144   2.6e-145       7.5----------------------------linprog Terminated. Status : 0
[Iters: 4] [Time: 2.82e-03s]

第一行输出的整数含义如下:

0 - optimal

1 - terminated by maxIter

2 - infeasible

GitHub地址：https://github.com/ZhiQiangFeng