证明 logX X 对所有的 X 0成立理解mark

最近在看书增长见识,所以可能最近会更一些自己对一些问题的理解。

题目: 证明： logX < X 对所有的 X > 0成立。(计算机中默认以2为底)

对于这个问题,百度了很多种解法,有先分析然后判断趋势然后给出结论的，但是这是个证明题是吧。所以我就没有放弃的继续百度了一下，最后比较中意这个数学归纳法。

1、首先我是用画图判断趋势来求证的：

底都是2哈我这也不知道怎么写能表示出来先不写2了
logX < X ( X >0,把X除过去)
= logX / log2^X < 1(运用定理logA底B=logC底B/logC底A)
= log2^X底X < log2^X底2的X次方
根据 log 的图像此时底数为 2>1 log 函数为正且递增
消掉 log2^X底
所以= X < 2^X
在象限中画图当 X >0时，始终成立的，所以证明完毕。
思路哈,略显单调。

2、第二种就是Mark Allen Weiss这位大师的数学归纳法了
证明:
首先，当0 < X ≤ 1 时，因为X = 1时，log1 = 0 < 1。X = 1/2时, logX = -1 < 1/2，logX < X 显然成立。总之X < 1时，logX为负数，因为X>0,所以logX明显小于X。

然后，当1 < X ≤ 2 时。因为log2 = 1 < 2，且X < 2 时logX < 1。

接下来要考虑的是剩下的区间X>2 ，用数学归纳法。

归纳基础：1< X ≤ 2 时命题成立，由上可知。

归纳假设：假设命题对任意正整数p(p≥1)，p < X ≤ 2p 时命题成立，求证对于任意的正整数p，2p < Y < 4p命题成立。

直接看下面的那一句加粗可能看不懂,比如我。。。
所以,首先先分析一下，然后再看就能看懂了。

1、Y=2X(也就是X=Y/2) 因为区间乘2
2、注意 p < X=Y/2 ≤ 2p 和 2p < Y < 4p
3、p≥1，所以2p是≥2的
4、1< Y/2 ≤ 2 时，logY/2 < Y/2

所以就有：
logY= log(2·Y/2)
= log2 + log(Y/2) < 1 + Y/2 < (Y/2 + Y/2 = Y)。
即logY < Y成立。
因此命题logX < X，X > 0成立。

以上是我的个人理解，有问题欢迎指正。

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