【PTA】【数据结构与算法】最小生成树
2024-04-30 12:29:12
判断题
1.Let M be the minimum spanning tree of a weighted graph G. Then the path in M between V1 and V2 must be the shortest path between them in G.
| T | F |
|---|
2.Prim’s algorithm is to maintain a forest and to merge two trees into one at each stage.
| T | F |
|---|
3.Kruskal’s algorithm is to maintain a forest and to merge two trees into one at each stage.
| T | F |
|---|
4.Kruskal’s algorithm is to grow the minimum spanning tree by adding one edge, and thus an associated vertex, to the tree in each stage.
| T | F |
|---|
5.Prim’s algorithm is to grow the minimum spanning tree by adding one edge, and thus an associated vertex, to the tree in each stage.
| T | F |
|---|
6.If graph G is a connected graph, the spanning tree of G is a maximal connected subgraph containing all n vertices of G.
| T | F |
|---|
选择题
1.给定有权无向图的邻接矩阵如下，其最小生成树的总权重是：
| 选项 | |
|---|---|
| A | 8 |
| B | 15 |
| C | 20 |
| D | 22 |
2.给定有权无向图的邻接矩阵如下，其最小生成树的总权重是：
| 选项 | |
|---|---|
| A | 24 |
| B | 23 |
| C | 18 |
| D | 17 |
3.给定有权无向图如下。关于其最小生成树，下列哪句是对的？
| 选项 | |
|---|---|
| A | 边(B, A)一定在树中，树的总权重为23 |
| B | 边(D, C)一定在树中，树的总权重为20 |
| C | 最小生成树不唯一，其总权重为23 |
| D | 最小生成树唯一，其总权重为20 |
4.任何一个无向连通图的最小生成树（）。
| 选项 | |
|---|---|
| A | 一定有多棵 |
| B | 可能不存在 |
| C | 有一棵或多棵 |
| D | 只有一棵 |
5.无向连通图的最小生成树（ ）
| 选项 | |
|---|---|
| A | 一定唯一 |
| B | 有一个或多个 |
| C | 一定有多个 |
| D | 可能不存在 |
6.对于下列的网，使用Prim算法由顶点A出发，求最小生成树，吸取的第三条边是。
| 选项 | |
|---|---|
| A | （A,D） |
| B | （D,E） |
| C | （C,E） |
| D | （B,C） |
7.下列说法中正确的是
| 选项 | |
|---|---|
| A | 若一个无向图的最小生成树唯一，则该无向图中没有权值相同的边 |
| B | 若一个无向完全图有 N 个顶点，且各边权值均相同，则该图有 N! 种最小生成树 |
| C | 若一个无向连通图没有权值相同的边，则该无向图的最小生成树唯一 |
| D | 一个无向图的最小生成树是该图的极大连通子图 |
8.在求最小生成树时，Prim算法更适合于____。
| 选项 | |
|---|---|
| A | 有向图 |
| B | 无向图 |
| C | 稀疏图 |
| D | 稠密图 |
9.在求最小生成树时，Kruskal算法更适合于____。
| 选项 | |
|---|---|
| A | 有向图 |
| B | 无向图 |
| C | 稀疏图 |
| D | 稠密图 |
10.以下哪个不是给定无向带权图的最小生成树？
| 选项 | |
|---|---|
| A |
|
| B |
|
| C |
|
| D |
|
11.给出如下图所示的具有 7 个结点的网 G，采用Prim算法，从4号结点开始，给出该网的最小生成树。下列哪个选项给出了正确的树结点收集顺序？
| 选项 | |
|---|---|
| A | 4501362 |
| B | 4526301 |
| C | 4561023 |
| D | 4563201 |
12.The minimum spanning tree of any connected weighted graph:
| 选项 | |
|---|---|
| A | is unique |
| B | is not unique |
| C | may not be unique |
| D | may not exist |
程序填空题
1.最小生成树（普里姆算法）。
#include <iostream>
#define MVNum 100
#define MaxInt 32767
using namespace std;struct edge{char adjvex;int lowcost;
}closedge[MVNum];typedef struct{ char vexs[MVNum]; int arcs[MVNum][MVNum]; int vexnum,arcnum;
}AMGraph;int LocateVex(AMGraph G , char v);//实现细节隐藏
int CreateUDN(AMGraph &G);//实现细节隐藏int Min(AMGraph G){int i;int index = -1;int min = MaxInt;for(i = 0 ; i < G.vexnum ; ++i){if(min > closedge[i].lowcost && closedge[i].lowcost != 0){min = closedge[i].lowcost;index = i;}}return index;
}void MiniSpanTree_Prim(AMGraph G, char u){ int k , j , i;char u0 , v0;k =LocateVex(G, u);for(j = 0; j < G.vexnum; ++j){ if(j != k){ closedge[j].adjvex = u;closedge[j].lowcost = G.arcs[k][j];}}closedge[k].lowcost = 0;for(i = 1; i < G.vexnum; ++i){k = Min(G); u0 = closedge[k].adjvex;v0 = G.vexs[k]; cout << u0 << "->" << v0 << endl;closedge[k].lowcost = 0; for(j = 0; j < G.vexnum; ++j) if(G.arcs[k][j] < closedge[j].lowcost){closedge[j].adjvex = G.vexs[k];closedge[j].lowcost = G.arcs[k][j];}}
}int main(){AMGraph G;CreateUDN(G);char u;cin >> u;MiniSpanTree_Prim(G , u);return 0;
}
2.最小生成树（克鲁斯卡尔算法）。
#include <stdio.h>
#define MVNum 100
#define MaxInt 32767 typedef struct{ char vexs[MVNum];int arcs[MVNum][MVNum];int vexnum,arcnum;
}AMGraph;struct Evode{char Head;char Tail;int lowcost;
}Edge[(MVNum * (MVNum - 1)) / 2];int Vexset[MVNum];int LocateVex(AMGraph G , char v){for(int i = 0; i < G.vexnum; ++i)if(G.vexs[i] == v)return i;return -1;
}void CreateUDN(AMGraph &G){ int i , j , k;char c;scanf("%d %d",&G.vexnum,&G.arcnum); getchar();for(i = 0; i < G.vexnum; ++i){ G.vexs[i]=getchar();}getchar();for(i = 0; i < G.vexnum; ++i) for(j = 0; j < G.vexnum; ++j) G.arcs[i][j] = MaxInt;for(k = 0; k < G.arcnum;++k){char v1 , v2;int w;scanf("%c %c %d",&v1,&v2,&w);getchar();i = LocateVex(G, v1); j = LocateVex(G, v2); G.arcs[i][j] = w;G.arcs[j][i] = G.arcs[i][j];Edge[k].lowcost = w;Edge[k].Head = v1;Edge[k].Tail =v2;}
}void Sort(AMGraph G){int m = G.arcnum - 2;int flag = 1;while((m > 0) && flag == 1){flag = 0;for(int j = 0 ; j <= m ; j++){if(Edge[j].lowcost > Edge[j+ 1].lowcost){flag = 1;struct Evode temp=Edge[j];Edge[j]=Edge[j + 1];Edge[j + 1]=temp;}}--m;}
}void MiniSpanTree_Kruskal(AMGraph G){ int i , j , v1 , v2 , vs1 , vs2;Sort(G); for(i = 0; i < G.vexnum; ++i) Vexset[i] = i;for(i = 0; i < G.arcnum; ++i){ v1 =LocateVex(G, Edge[i].Head); v2 =LocateVex(G, Edge[i].Tail); vs1 = Vexset[v1];vs2 = Vexset[v2]; if(vs1 != vs2){printf("%c->%c\n",Edge[i].Head ,Edge[i].Tail); for(j = 0; j < G.vexnum; ++j)if(Vexset[j] == vs2) Vexset[j] = vs1;}}
}int main(){AMGraph G;CreateUDN(G);MiniSpanTree_Kruskal(G);return 0;
}
3.下列代码的功能是使用Prim算法求出无向图的最小生成树权值总和，请补全。
给出的图用邻接矩阵存储。若两顶点之间没有直接路径，则对应权值为 INF，且题目保证 INF 值足够大；若找不到距离最短的顶点或者无法求出权值总和，则返回 ERROR。
typedef int WeightType;
typedef int VertexType;
typedef struct {int Nv;WeightType G[MAX_GRAPH_SIZE][MAX_GRAPH_SIZE];
} GNode, * MGraph;VertexType FindMinDist(MGraph Graph, WeightType dist[]) {VertexType MinV = -1, V;WeightType MinDist = INF;for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {if (dist[V] != 0 && dist[V] < MinDist) {MinDist = dist[V];MinV = V;}}if (MinDist < INF) {return MinV;} else {return ERROR;}
}int Prim(MGraph Graph) {int dist[MAX_GRAPH_SIZE];int TotalWeight = 0, VCount = 0;VertexType V, W;for (V = 0; V < Graph->Nv; V++) {dist[V] = Graph->G[0][V];}dist[0] = 0;VCount++;while (1) {VertexType MinV;if ((MinV = FindMinDist(Graph, dist)) == ERROR) {break;}TotalWeight += dist[MinV];dist[MinV] = 0;VCount++;for (W = 0; W < Graph->Nv; W++) {if (dist[W] != 0 && dist[W] > Graph->G[MinV][W]) {dist[W] = Graph->G[MinV][W];}}}if (VCount != Graph->Nv) {return ERROR;} else {return TotalWeight;}
}
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