编写方程代码

创建一个函数以编写方程代码。此函数应具有签名 dydx = mat4ode(x,y,lambda)，其中：

x 是自变量。

y 是因变量。

lambda 是表示特征值的未知参数。

您可以用代换法 y1=y 和 y2=y′ 将马蒂厄方程写成一阶方程组，

y1′=y2，

y2′=-(λ-2qcos(2x))y1。

则对应的函数是

function dydx = mat4ode(x,y,lambda) % equation being solved

dydx = [y(2)

-(lambda - 2*q*cos(2*x))*y(1)];

end

注意：所有函数都作为局部函数包含在示例的末尾。

编写边界条件代码

现在，编写一个函数，该函数返回在边界点处的边界条件的残差值。此函数应具有签名 res = mat4bc(ya,yb,lambda)，其中：

ya 是在区间 [a,b] 开始处的边界条件的值。

yb 是在区间 [a,b] 结束处的边界条件的值。

lambda 是表示特征值的未知参数。

此问题在区间 [0,π] 内有三个边界条件。要计算残差值，您需要将边界条件设置为 g(x,y)=0 形式。在此形式中，边界条件是

y′(0)=0，

y′(π)=0，

y(0)-1=0。

则对应的函数是

function res = mat4bc(ya,yb,lambda) % boundary conditions

res = [ya(2)

yb(2)

ya(1)-1];

end

创建初始估计值

最后，创建解的初始估计值。您必须对两个解分量 y1=y(x) 和 y2=y′(x) 以及未知参数 λ 提供初始估计值。

对于此问题，余弦函数满足三个边界条件，因此有助于提供较好的初始估计值。使用返回 y1 和 y2 的估计值的函数，编写 y 的初始估计值的代码。

function yinit = mat4init(x) % initial guess function

yinit = [cos(4*x)

-4*sin(4*x)];

end

使用区间为 [0,π] 的 10 点网格、初始估计值函数以及 λ 的估计值 15 调用 bvpinit。

lambda = 15;

solinit = bvpinit(linspace(0,pi,10),@mat4init,lambda);

求解方程

使用 ODE 函数、边界条件函数和初始估计值调用 bvp4c。

sol = bvp4c(@mat4ode, @mat4bc, solinit);

参数值

打印 bvp4c 求得的未知参数 λ 的值。此值是马蒂厄方程的第四个特征值 (q=5)。

fprintf('Fourth eigenvalue is approximately %7.3f.\n',...

sol.parameters)

Fourth eigenvalue is approximately 17.097.

对解进行绘图

使用 deval 计算 bvp4c 在区间 [0,π] 中的 100 个点处计算的解。

xint = linspace(0,pi);

Sxint = deval(sol,xint);

对两个解分量进行绘图。绘图显示了与第四个特征值 λ4=17.097 相关联的特征函数(及其导数)。

plot(xint,Sxint)

axis([0 pi -4 4])

title('Eigenfunction of Mathieu''s Equation.')

xlabel('x')

ylabel('y')

legend('y','y''')

局部函数

此处列出了 BVP 求解器 bvp4c 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

function dydx = mat4ode(x,y,lambda) % equation being solved

q = 5;

dydx = [y(2)

-(lambda - 2*q*cos(2*x))*y(1)];

end

%-------------------------------------------

function res = mat4bc(ya,yb,lambda) % boundary conditions

res = [ya(2)

yb(2)

ya(1)-1];

end

%-------------------------------------------

function yinit = mat4init(x) % initial guess function

yinit = [cos(4*x)

-4*sin(4*x)];

end

%-------------------------------------------