7.1.1 分段线性插值

所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理。实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：

interp1(x,y,xi) 一维插值

◆ yi=interp1(x,y,xi)

对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值。x为节点向量值，y为对应的节点函数值。如果y 为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或 xi 的维数，则返回NaN。

◆ yi=interp1(y,xi)

此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1)。

◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)

method用来指定插值的算法。默认为线性算法。其值常用的可以是如下的字符串。

● nearest 线性最近项插值。

● linear 线性插值。

● spline 三次样条插值。

● cubic 三次插值。

所有的插值方法要求x是单调的。x 也可能并非连续等距的。

正弦曲线的插值示例：

>> x=0:0.1:10;

>> y=sin(x);

>> xi=0:0.25:10;

>> yi=interp1(x,y,xi);

>> plot(x,y,’0’,xi,yi)

则可以得到相应的插值曲线(读者可自己上机实验)。

Matlab也能够完成二维插值的运算，相应的函数为interp2，使用方法与interpl基本相同，只是输入和输出的参数为矩阵，对应于二维平面上的数据点，详细的用法见Matlab联机帮助。

7.1.2 最小二乘法拟合

在科学实验的统计方法研究中,往往要从一组实验数据中寻找出自变量x 和因变量y之间的函数关系y=f(x) 。由于观测数据往往不够准确，因此并不要求y=f(x)经过所有的点 ,而只要求在给定点上误差按照某种标准达到最小，通常采用欧氏范数作为误差量度的标准。这就是所谓的最小二乘法。在MATLAB中实现最小二乘法拟合通常采用polyfit函数进行。

函数polyfit是指用一个多项式函数来对已知数据进行拟合，我们以下列数据为例介绍这个函数的用法：

>> x=0:0.1:1；

>> y=[ -0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2 ]

为了使用polyfit，首先必须指定我们希望以多少阶多项式对以上数据进行拟合，如果我们指定一阶多项式，结果为线性近似，通常称为线性回归。我们选择二阶多项式进行拟合。

>> P= polyfit (x, y, 2)

P=

-9.8108 20.1293 -0.0317

函数返回的是一个多项式系数的行向量，写成多项式形式为：

为了比较拟合结果，我们绘制两者的图形：

>> xi=linspace (0, 1, 100); %绘图的X-轴数据。

>> Z=polyval (p, xi); %得到多项式在数据点处的值。

当然，我们也可以选择更高幂次的多项式进行拟合，如10阶：

>> p=polyfit (x, y, 10);

>> xi=linspace (0, 1,100);

>> z=ployval (p, xi);

读者可以上机绘图进行比较，曲线在数据点附近更加接近数据点的测量值了，但从整体上来说，曲线波动比较大，并不一定适合实际使用的需要，所以在进行高阶曲线拟合时，“越高越好”的观点不一定对的。

7.2 符号工具箱及其应用

在数学应用中，常常需要做极限、微分、求导数等运算，MATLAB称这些运算为符号运算。MATLAB的符号运算功能是通过调用符号运算工具箱 (Symbolic Math Toolbox)内的工具实现，其内核是借用Maple数学软件的。MATLAB的符号运算工具箱包含了微积分运算、化简和代换、解方程等几个方面的工具，其详细内容可通过MATLAB系统的联机帮助查阅，本节仅对它的常用功能做简单介绍。

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