图的一些基本知识:关联矩阵、拉普拉斯矩阵
目录
- 前言
- 关联矩阵(Incidence Matrix)
- 有向图举例
- 无向图举例
- 拉普拉斯矩阵(Laplacian)
- 举例说明
- 参考文献
前言
本文介绍了一些图论的基础知识,包括图的关联矩阵、拉普拉斯矩阵,其中只考虑无自环的情况,本文中某些图片或者知识的参考/来源已列于本文最后。图、邻居、度矩阵、邻接矩阵参考另一篇博客https://blog.csdn.net/luzaijiaoxia0618/article/details/104718146
关联矩阵(Incidence Matrix)
关联矩阵是n×m的矩阵,n为顶点数量,m为边数量。
对于有向图,关联矩阵如下,其中若顶点在边的起点,则 dij=1;若顶点在边的终点,则 dij=-1;其他 dij=0。
对于无向图,关联矩阵中,顶点只要在边上,则dij=1;其他 dij=0。
有向图举例
有向图关联矩阵特点:
- 每一列只有两个非零元素,一个是+1,一个是-1,关联矩阵每一列元素之和为零。
- 矩阵中任一行可以从其他 n-1 行中导出,即只有 n-1 行是独立的。
无向图举例
无向图关联矩阵特点:
- 因为每条边关联于两个顶点,所以关联矩阵每一列有且只有两个1
- 关联矩阵的每一行种的所有元素之和对应于此行顶点的度
- 若某一行所有的元素都为0,则此行对应的顶点为孤立点
- 重边所对应的列元素完全相同
拉普拉斯矩阵(Laplacian)
拉普拉斯矩阵 = 度矩阵 - 邻接矩阵,其中有向图度矩阵根据应用情况使用出度矩阵或者入度矩阵。
举例说明
该无向图的度矩阵&邻接矩阵:
该无向图的拉普拉斯矩阵:
拉普拉斯矩阵性质:
- 拉普拉斯矩阵是半正定矩阵;
- 特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数;
- 最小特征值是0,对应的特征向量为全1列向量,因为拉普拉斯矩阵每一行的和均为0;
- 每一行的行和为0;
参考文献
[1] Mesbahi M, Egerstedt M. Graph theoretic methods in multiagent networks[M]. Princeton University Press, 2010.
[2] https://wenku.baidu.com/view/88172a8f09a1284ac850ad02de80d4d8d05a0158.html
[3] https://wenku.baidu.com/view/9476691f2e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e232.html
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