matlab练习_MATLAB教程-台大郭彦甫-第十四节，含练习答案

14-回归与内插

一、Polynomial curve fitting（多项式曲线拟合）

（一）Simple Linear Regression（简单线性回归）

1、A bunch of data points（

）are collected（收集一些二维数据点）

如体重（Height）和身高（Weith）

2、Assume

and

are linearly correlated（假设x和y线性相关）

（二）Linear Regression Formulation（线性回归公式）

1、Define sum of squared errors（SSE）：（定义平方误差之和）

2、Given that the regression model：（假设回归模型）

（三）Solving Least-squares Problem（最小二乘问题的求解）

1、SSE is minimized when its gradient with respect to each parameter is equal to zero：（当SSE相对于每个参数的梯度等于零时，SSE最小）

联立二元一次方程式

（四）Least-squares Solution（最小二乘解）

1、Suppose there exists N data points：（假设存在N个数据点：）

只有β0和β1是未知，其他均为已知

（五）Polynomial Curve Fitting：polyfit（）（多项式曲线拟合）

1、Curve fitting for polynomials of different orders（不同阶多项式的曲线拟合）

示例代码：

x = [-1.2 -0.5 0.3 0.9 1.8 2.6 3.0 3.5];
y = [-15.6 -8.5 2.2 4.5 6.6 8.2 8.9 10.0];
fit = polyfit(x,y,1);%order,1次方的多项式
%poly会产生两个值fit(1)和fit(2)对应斜率和截距
%% 绘制图形
xfit = x(1):0.1:x(end);
%即xfit = [-1.2 -1.1 -1.0 ... 3.5]
yfit = fit(1) * xfit + fit(2);
%即y = ax + b
plot(x,y,'ro',xfit,yfit);
set(gca,'FontSize',14);
legend('data points','best-fit','Location','northwest');

输出代码：

（六）Excise

1、Given the table below：

（1）Find the

和

of the regression line（找到回归线）

（2）Plot the figure

答案代码：

TC = [0.025 0.035 0.050 0.060 0.080];
T = [20 30 40 50 60];
fit = polyfit(T,TC,1)Tfit = T(1):0.01:T(end);
TCfit = fit(1) * Tfit + fit(2);
plot(T,TC,'ko',Tfit,TCfit,'r','LineWidth',2);
set(gca,'FontSize',14);
grid on;
set(gca,'GridLineStyle','--');   %设置网格线为虚线
xlabel('Temperature(^oC)');
ylabel('TC output(mV)');
title('Calibration of TC')

输出结果：

（七）Area x and y Linearly Correlated（区域x和y是否线性相关？）

1、If not，the line may not well describe their relationship（拟合的线或许不能很好的描述他们之间关系）

2、Check the linearity by using （检查他们的线性关系使用）

（1）scatter（）：scatterplot（散点图）

（2）corrcoef（）：correlation coefficient，-1≤r≤1（相关系数，很强的正相关接近1，很强负相关-1）

示例代码：

x = [-1.2 -0.5 0.3 0.9 1.8 2.6 3.0 3.5];
y = [-15.6 -8.5 2.2 4.5 6.6 8.2 8.9 10.0];
scatter(x,y);%散点图
box on;
axis square;
corrcoef(x,y)%相关系数

输出结果：

注意：

corrcoef(x,y)%相关系数

（八）Higher Order Polynomials（高阶多项式）

示例代码:

x = [-1.2 -0.5 0.3 0.9 1.8 2.6 3.0 3.5];
y = [-15.6 -8.5 2.2 4.5 6.6 8.2 8.9 10.0];
figure('Position',[50 50 1500 400]);%可绘制区域的位置和大小
for i = 1:3subplot(1,3,i);p = polyfit(x,y,i);%多项式曲线拟合
%i = 1:3  分别画出了1次拟合，2次拟合，3次拟合
%拟合阶数越高，平均差值越小xfit = x(1):0.1:x(end);yfit = polyval(p,xfit);%多项式计算plot(x,y,'ro',xfit,yfit);set(gca,'FontSize',14);ylim([-17,11]);legend('Data points','Fitted curve','Location','southeast');
end

输出结果：

注意：

（1）figure('Position',[50501500400]);%可绘制区域的位置和大小

（2） p =polyfit(x,y,i);%多项式曲线拟合

（3）yfit =polyval(p,xfit);%多项式计算

（九）Excise

1、Find the

-order polynomials

2、Is it better to use higher order polynomials？（错，可能过拟合）

答案代码：

x = [-1.2 -0.5 0.3 0.9 1.8 2.6 3.0 3.5];
y = [-15.6 -8.5 2.2 4.5 6.6 8.2 8.9 10.0];
figure('Position',[50 50 1500 400]);
for i = 4:6subplot(1,3,i-3);%由于与order用的是同样的变量，所以只需减掉多的3阶即可p = polyfit(x,y,i);xfit = x(1):0.1:x(end);yfit = polyval(p,xfit);plot(x,y,'ro',xfit,yfit);set(gca,'FontSize',14);ylim([-17,11]);legend('Data points','Fitted curve','Location','southeast');
end

输出结果：

二、Multiple regression（多元回归）

（一）What If There Exists More Variables？（如果有更多的变量呢？）

1、Equations associated with more than one explanatory variables：（有多个解释变量的相关方程）

2、Multiple linear regression：regress（）（多元线性回归）

3、Note：the function given you more statistics（e.g.，R²）of the regression model（该函数为您提供了回归模型的更多统计信息）

（二）Multiple Linear Regression：regress（）（多元线性回归）

示例代码：

load carsmall;
y = MPG;%1加仑的汽油可以走多少英里
x1 = Weight;%重量
x2 = Horsepower;%马力
X = [ones(length(x1),1) x1 x2];%增广矩阵，第一行为1向量，即常数项
%即y = a + bx1 + cx2
b = regress(y,X);%多元线性回归%% 绘制图形
x1fit = min(x1):100:max(x1);
x2fit = min(x2):10:max(x2);
[X1FIT,X2FIT] = meshgrid(x1fit,x2fit);
YFIT = b(1) + b(2) * X1FIT + b(3) * X2FIT;
%即y = a + bx1 + cx2
scatter3(x1,x2,y,'filled');
%三维散点图
%filled表示填充标记
hold on;
mesh(X1FIT,X2FIT,YFIT);
hold off;
xlabel('Weight');
ylabel('Horsepower');
zlabel('MPG');
view(50,10);

输出结果：

注意：

（1）b= regress(y,X)返回向量b，其中包含向量y中的响应对矩阵X中的预测变量的多元线性回归的系数估计值。要计算具有常数项（截距）的模型的系数估计值，请在矩阵X中包含一个由 1 构成的列。

（三）What If the Equations Area NOT Linear？（如果方程区域不是线性的呢）

1、What are linear equations？（什么是线性方程式）

2、How do we do curve fitting using nonlinear equations？（如何利用非线性方程进行曲线拟合）

（二）DC Motor System Identification（DC马达系统辨识）

1、For a typical DC motor，the velocity

and displacement

profile of a step responses of are（对一个典型的DC马达，速度和位移关于时间的关系）

2、The displacement

profile is：（求位移的方程，三个未知数

）

where

is the time constant（β是时间的常数）

（三）Curve Fitting Toolbox：cftool（）（曲线拟合内件）

1、键入cftool

三、Interpolation（插值，或称内插）

（一）Interpolation vs Regression（插值与回归）

1、Interpolation（插值）

（1）The process of finding an approximation of a function（求函数逼近的过程）

（2）The fit does traverse all known points（拟合会遍历所有已知点）

2、Regression（回归）

（1）The process of finding a curve of best fit（寻找最佳拟合曲线的过程）

（2）The fit generally does not pass through the data points（拟合通常不通过数据点）

（二）Common Interpolation Approaches（常用插值方法）

1、piecewise linear interpolation（分段线性插值）

2、piecewise cubic polynomial interpolation（分段三次多项式插值）

3、Cubic spline interpolation（三次样条插值）

（三）Linear Interpolation：interp1（）（线性插值）

示例代码：

%% 构造分散点
x = linspace(0,2 * pi,40);%在0到2pi之间生成间隔相同的40个点
x_m = x;
x_m([11:13,28:30]) = NaN;%手动将11-13，28-30这6个点变为空，制造下图中的断点
y_m = sin(x_m);
%% 绘制图形
plot(x_m,y_m,'ro','MarkerFaceColor','r');
xlim([0,2*pi]);
ylim([-1.2,1.2]);
box on;
%set(gca,'FontName','symbol','FontSize',16);高版本不需要这一句
set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi);
set(gca,'XTickLabel',{'0','pi/2','pi','3pi/2','2pi'});
%% 内插
m_i = ~isnan(x_m);
%'~':表示取非，这里是将右边判断空值所形成的数组取非后赋值给左边
%isnan():确定哪些数组元素为 NaN
y_i = interp1(x_m(m_i),...y_m(m_i),x);
%interp1():一维数据插值（表查找）
hold on;
plot(x,y_i,'-b',...'LineWidth',2);
hold off;

输出结果：

注意：

（1）‘~’表示取非，这里是将右边判断空值所形成的数组取非后赋值给左边

（2）TF= isnan(A)返回一个逻辑数组，其中的1(true) 对应A中的NaN元素，0(false) 对应其他元素。如果A包含复数，则isnan(A)中的1对应实部或虚部为NaN值的元素，0对应实部和虚部均非NaN值的元素。

（3）vq = interp1(x,v,xq) 使用线性插值返回一维函数在特定查询点的插入值。向量 x 包含样本点，v 包含对应值 v(x)。向量 xq 包含查询点的坐标。

如果您有多个在同一点坐标采样的数据集，则可以将 v 以数组的形式进行传递。数组 v 的每一列都包含一组不同的一维样本值。

（四）Spline Interpolation：spline（）（样条插值）

示例代码：

x = linspace(0,2 * pi,40);
x_m = x;
x_m([11:13,28:30]) = NaN;
y_m = sin(x_m);
plot(x_m,y_m,'ro','MarkerFaceColor','r');%绘制散点图
xlim([0,2*pi]);
ylim([-1.2,1.2]);
box on;
%set(gca,'FontName','symbol','FontSize',16);高版本不需要这一句
set(gca,'XTick',0:pi/2:2*pi);
set(gca,'XTickLabel',{'0','pi/2','pi','3pi/2','2pi'});
%% 内插
m_i = ~isnan(x_m);
y_i1 = spline(x_m(m_i),y_m(m_i),x);%使用内插值线段连接
y_i2 = interp1(x_m(m_i),y_m(m_i),x);%使用样条差值连接
hold on;
plot(x,y_i1,'-b','LineWidth',2);%
plot(x,y_i2,'-g','LineWidth',2);
hold off;
h = legend('Original','Linear','Spline');
set(h,'FontName','Times New Roman');

输出结果：

（五）What Are Splines？

1、Piecewise polynomial functions（分段多项式函数）

（六）Excise

1、Fit the data using linear lines and cubic splines（用直线和三次样条拟合数据）

答案代码：

x = [0 0.25 0.75 1.25 1.5 1.75 1.875 2 2.125 2.25];
y = [1.2 1.18 1.1 1 0.92 0.8 0.7 0.55 0.35 0];
x_i = 0:0.1:2.5;
hold on
plot(x,y,'bo');%绘制散点图
xlim([0,2.5]);
ylim([0,1.4]);
box on;
y_i1 = interp1(x,y,x_i);%使用内插值线段连接
y_i2 = interp1(x,y,x_i,'spine');%使用样条差值连接
plot(x_i,y_i2,'r','linewidth',1);
plot(x_i,y_i1,'c');
xlabel('x(ft)');
ylabel('y(ft)');
title('Data & Fit Model');
set(gca,'fontsize',14);
legend('Data','Linear','Spline')
hold off

输出结果：

（七）Cubic Spline vs. Hermite Polynomial（三次样条曲线与埃尔米特多项式）

1、p = pchip(x,y,t);：Hermite Polynomial，埃尔米特多项式

最大的不同在于，埃尔米特多项式在点和点连接曲线不会片离连接的线段

埃尔米特多项式_百度百科baike.baidu.com

示例代码：

x = -3:3;
y = [-1 -1 -1 0 1 1 1];
t = -3:.01:3;
s = spline(x,y,t);%spline多项式
p = pchip(x,y,t);%埃尔米特多项式
hold on;
plot(x,y,'ro','MarkerFaceColor','r');
plot(t,s,':g','LineWidth',2);
plot(t,p,'--b','LineWidth',2);
hold off;
box on;
set(gca,'FontSize',16);
h = legend('Original','Spline','Hermite','Location','northwest');
%注意，标的顺序与绘图的先后顺序相同

输出结果：

（八）2D Interpolation：interp2（）（二维插值）

示例代码：

%% 原本的数据图
subplot(1,2,1);
xx = -2:.5:2;
yy = -2:.5:3;
[X,Y] = meshgrid(xx,yy);
Z = X .* exp(-X .^ 2 - Y .^ 2);
surf(X,Y,Z);
hold on;
plot3(X,Y,Z+0.01,'ok',...'MarkerFaceColor','r')
title('Origin');%% 线性内插
subplot(1,2,2);
xx_i = -2:.1:2;
yy_i = -2:.1:3;
[X_i,Y_i] = meshgrid(xx_i,yy_i);
Z_i = interp2(xx,yy,Z,X_i,Y_i);
surf(X_i,Y_i,Z_i);
hold on;
plot3(X,Y,Z+0.01,'ok',...'MarkerFaceColor','r')
title('Linear');

输出结果：

（九）2D Interpolation Using Spline（端点处圆润很多）

示例代码：

xx = -2:.5:2;
yy = -2:.5:3;
[X,Y] = meshgrid(xx,yy);
Z = X .* exp(-X .^ 2 - Y .^ 2);
xx_i = -2:.1:2;
yy_i = -2:.1:3;
[X_i,Y_i] = meshgrid(xx_i,yy_i);
Z_e = interp2(xx,yy,Z,X_i,Y_i,'cubic');
surf(X_i,Y_i,Z_e);
hold on;
plot3(X,Y,Z+0.01,'ok',...'MarkerFaceColor','r')
title('Spline');

输出结果：

第十四节结束

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