Unique Binary Search Trees

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给定数值n，计算有多少种不同的二叉搜索树能够存储1,2,...,n1,2,...,n这n个数

二叉搜索树满足的条件

当前根节点的值大于左子树节点的值
当前根节点的值小于右子树节点的值
左右子树同样是二叉搜索树

根据上述规则可以看出，根节点值不同，形成的二叉搜索树就不同，那么[1:n][1 : n]范围内的n个数就有n个不同的选择

假设选取i作为根节点值，根据二叉搜索树的规则，[1:i−1][1 : i-1]这i-1个数在其左子树上，[i+1:n][i+1 : n]这n-i个数在其右子树上

对于由[1:i−1][1 : i-1]形成的左子树，又可以采用上述方法进行分解

对于由[i+1:n][i+1 : n]形成的右子树，同样可以采用上述方法进行分解

由于每个分解的范围都是连续递增的，所以无需考虑具体数值。另G(n)表示由连续的n个数形成的二叉搜索树的个数

那么G(n)为所求解，假设以i作为分界点，那么左子树为G(i-1)，右子树为G(n-i)

因为i可以取从1到n的任意一个数，所以G(n)=∑ni=1(G(i−1)∗G(n−i))G(n) = \sum_{i=1}^n(G(i-1) * G(n-i))

需要对G(0)和G(1)特殊处理，令其为1，即G(0)=G(1)=1G(0) = G(1) = 1

代码如下

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> dp(n + 1, 0);dp[0] = dp[1] = 1;for(int i = 2; i <= n; ++i){for(int j = 1; j <= i; ++j){//G(i) += G(j - 1) * G(n - j)dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];}
};

Unique Binary Search Trees II

原题链接Unique Binary Search Trees II

不再是计算有多少个不同的二叉搜索树，而是将所有不同的二叉搜索树构造出来:smile:

还是以上面的题为基础，假设选择i作为分界点，那么左子树由[1:i−1][1 : i-1]范围的值组成，右子树由[i+1:n][i+1 : n]范围内的值组成

通过[1:i−1][1:i-1]这i-1个数可以构成多个不同的二叉搜索树，假设是leftTree1，leftTree2,....,leftTreeLleftTree1，leftTree2, ...., leftTreeL

通过[i+1:n][i + 1 : n]这n-i个数可以构成多个不同的二叉搜索树，假设是rightTree1,rightTree2,...,rightTreeRrightTree1, rightTree2, ..., rightTreeR

那么可知以i作为根节点的二叉搜索树共有L∗RL * R个，另这些树依次组成即可求出这L∗RL*R个树

代码如下

/*** Definition for a binary tree node.* struct TreeNode {*     int val;*     TreeNode *left;*     TreeNode *right;*     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}* };*/
class Solution {
public:vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {return generateTrees(1, n);    }
private://返回由[start : end]组成的所有树vector<TreeNode*> generateTrees(int start, int end){vector<TreeNode*> trees;//如果只有一个元素，直接构建返回if(start == end){trees.emplace_back(new TreeNode(start));return trees;}//范围内无元素，直接返回if(start > end){return trees;}for(int i = start; i <= end; ++i){//以i作为分界点获取左右两部分的子树集合vector<TreeNode*> leftTrees = generateTrees(start, i - 1);vector<TreeNode*> rightTrees = generateTrees(i + 1, end);//如果是空，手动增加nullptr节点，否则for循环进不去!!!if(leftTrees.empty())   leftTrees.emplace_back(nullptr);if(rightTrees.empty())  rightTrees.emplace_back(nullptr);//依次组合所有可能for(auto leftTree : leftTrees){for(auto rightTree : rightTrees){//构建以i为值的根节点，添加左右子树，添加到结果中TreeNode *root = new TreeNode(i);root->left = leftTree;root->right = rightTree;trees.emplace_back(root);}}}//继续返回上一层return trees;}
};

这两道题比较重要，真的很重要:cry:

对于如何构建二叉搜索树，只需要将其拆分成左右两部分，再组合集合。计算所有BST的数量利用的是动态规划，公式推导一遍应该可以理解(Letex公式真的好用:smile:)

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