​最近很多关于噪声的讨论，于是我找到之前的笔记，分享下我的学习过程。

噪声尽管是工程中最常见的现象和问题，但其物理本质却是极其精深的。拿最简单的一个电阻来说，不要接任何外加电源，噪声始终是存在的。也就是电阻通过电流的均值是0，但是其方差或者涨落不是0，数学上<I>=0, <I^2>≠0。

最早由Kubo等人，包括Nyquist 等一批物理学家建立了涨落耗散理论，才对噪声、布朗运动等很多现象作出了精彩的解释。后来结合量子理论，对自发辐射、卡西米尔力、近场热传导等量子现象做出解释。

涨落耗散定理的实质，是热平衡条件下，任何物体都会吸收电磁波谱（丛零频到X-ray甚至更高），同时也必须辐射出电磁波，这两个物理过程是平衡的。上述物理过程联系到黑体辐射理论和细致平衡理论。所以噪声、暗电流本质上就是吸收了电磁波的能量。噪声对一个通讯系统的重要性，暗电流对一个光电子器件的重要性，是众所周知的。

而电磁波的储能能量一定正比于场强的平方，所以必然不是0。物体的耗散，释放出电磁波，造成了电磁波在真空中一般的涨落；这个一般涨落的能量又被物体吸收，周而复始。且这个涨落即使在绝对0度时，都依然存在。这就是著名的涨落耗散定理。

但是推导电磁场的涨落远远比电流的涨落难度大很多。一般对一个电路，涨落耗散定理可以写成，1/2<I^2>R=kB*T/(2*pi) df，右侧kB*T是有限温度下平均光子能量，2*pi 项是Fourier变换的原因，df代表单位频率。所以宽带噪声估计公式kB*T*B，B是带宽。严格的量子表达式1/2 hbar omega+hbar omega/[exp(hbar omega/(kB*T))-1]，可以看出当hbar趋近于0，上式的经典表达式就是kB*T。而如果T=0，就是1/2 hbar omega。1/2 hbar omega是著名的零点能量，对应真空涨落。其他T不等于0，叫做热涨落。

根据电流涨落表达式，我们可以求出单位体积单位频率，电流密度的涨落表达式 1/2<J^2>=sigma*kB*T/(2*pi)。这里，我们假设不同空间点电流密度是不相关的，<J(r), J*(r’)>=0，当r不等于r’。而怎么得到电磁场的涨落表达式，要依赖格林函数理论。因为电场可以用电流和格林函数卷积得到，但是这时的格林函数不是自由空间的，而是任意非均匀空间的格林函数。经过一番化简和努力，我们可得到 <E，E*>的表达式。这个表达式很有趣，正比于非均匀空间并矢格林函数的需部Im (G)，因此是regular的。所以不同频率，不同空间点的电磁场涨落是不同的，正比于对应频率、对应空间点，在非均匀电磁系统放入一个点源后，得到的在这个点处电场的实部。

涨落耗散定理是我加入weng cho chew教授组第一个系统学习的理论。最大的收获是发现原来看似很简单的噪声，其实背后是极其复杂、精深的理论，需要深入思考。

参考文献：

Weng Cho Chew,Wei E. I. Sha, and Qi I. Dai, “Green’s Dyadic, Spectral Function, Local Density of States, and Fluctuation Dissipation Theorem,”Progress In Electromagnetics Research, vol. 166, pp. 147-165, Jan. 2020.

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