POJ - 2893 M × N Puzzle(n*m数码问题+逆序对结论)

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题目大意：给出一个n*m的数码问题，问是否能到达最终状态

题目分析：对于数码问题，我们先一步一步分析，先简单看一下定义：

八数码的问题描述为：
在3×3的棋盘上，摆有八个棋子，每个棋子上标有1至8的某一数字。棋盘中留有一个空格，空格用0来表示。空格周围的棋子可以移到空格中。要求解的问题是：给出一种初始布局（初始状态）和目标布局，找到一种最少步骤的移动方法，实现从初始布局到目标布局的转变。

八数码问题算是经典bfs问题了，因为是bfs，所以自然可以求出最小步数以及路径输出，之前我也写过博客介绍了，这里就不过多展开讨论了，我们现在讨论的问题没有那么复杂，只是单纯的讨论某个状态能否通过规则操作到达最终状态，也就是判断当前状态是否有解

首先我们先上升为n*n数码问题，n为奇数：

关于证明我也不太会证明，简单说一下结论吧，就是我们将整个n*n-1个数(不包含空格)依次写成一行的一个序列后，逆序对个数的奇偶性相同，必要性的证明：空格左右移动时，转换成的序列显然不变，上下移动时，相当于某个数与它前面或后面的n-1个数交换了位置，因为n是奇数，所以n-1是偶数，所以逆序对的变化也只能是偶数，而最后目标的状态逆序对的数目为0，所以当前状态的逆序对的数目必须为偶数才能达到目标状态，换句话说，若判断两个状态能否到达的条件就是其逆序对数的奇偶性是否一致

现在我们将问题再上升为n*n，n为偶数的情况：

原理同上，只不过空格在上下移动的时候，会和n-1个数交换了位置，因为此时的n为偶数，所以n-1为奇数，所以此时逆序对的变化只能为奇数，而奇数+奇数等于偶数，奇数+偶数等于奇数，所以当n为奇数的时候，此时判断状态之间的关系还需要看空格上下交换了几次位置，换句话说，若判断两个状态能否到达的条件是“逆序对之差”和“两个局面下空格所在的行数之差”的奇偶性是否一致

最后我们将问题上升为n*m，n和m为任意正整数：

通过上面的分析，我们会发现其实答案只与列数有直接的关系，所以我们已经不用管n了，只需要根据m来讨论就好了：

若m为奇数，则m-1为偶数，判断可达性即判断逆序对数的奇偶性即可
若m为偶数，则m-1为奇数，判断可达性即判断逆序对数以及空格所差的行数记得奇偶性即可

结论说完之后，那么对于这个题目，我们只需要先求一下逆序对数，然后根据m来分情况讨论一下就好了，注意一下这个题目卡了时间，只能用归并排序求逆序数，而不能用树状数组或线段树来求

代码：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<stack>
#include<queue>
#include<list>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;int a[N],b[N];int merge_sort(int l,int r)//归并排序
{if(l==r)return 0;int mid=l+r>>1;int ans=merge_sort(l,mid)+merge_sort(mid+1,r);int p=l,q=mid+1;for(int i=l;i<=r;i++){if(q>r||p<=mid&&a[p]<=a[q])b[i]=a[p++];else{b[i]=a[q++];ans+=mid-p+1;}}for(int i=l;i<=r;i++)a[i]=b[i];return ans;
}int main()
{
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  ios::sync_with_stdio(false);int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF&&n+m){int cnt=0,zero;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){int num;scanf("%d",&num);if(num)a[++cnt]=num;elsezero=n-i;}int ans=merge_sort(1,cnt);if(m&1)//若m为奇数zero=0; if((ans+zero)&1)//ans和zero奇偶性不同 printf("NO\n");elseprintf("YES\n");}return 0;
}

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