2018年国赛高教杯数学建模

A题高温作业专用服装设计

原题再现

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。
为设计专用服装，将体内温度控制在37ºC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：
(1) 专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75ºC、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。
(2) 当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5 mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。
(3) 当环境温度为80 时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时间不超过5分钟。

附件1. 专用服装材料的参数值
附件2. 假人皮肤外侧的测量温度

整体求解过程概述(摘要)

高温作业服可以避免高温灼伤，在实际作业中有广泛应用。本文对高温作业服的优化设计进行研究，分析作业服的传热过程，综合考虑各种传热方式、边界和初始条件，建立非稳态一维传热模型，并应用于作业服厚度的优化设计。
对于问题一：通过分析传热模型特点，将三维问题简化为一维问题，研究非稳态传热过程。主要考虑热传导、热对流两种传热方式，建立基于能量守恒定律的偏微分控制方程组，确定初边值条件，得到作业服非稳态一维传热过程的数学刻画。基于最小二乘原理，建立最优化模型，拟合实测温度求解未知参数的最优估计。利用有限差分法逐层求解方程组，并搜索得到第一层和第四层换热系数的参数估计分别为：113W/(m2·k)和8.344W/(m2·k)。再利用参数估计值计算出温度分布，生成 Excel 文件。扩展模型并检验忽略热辐射的合理性，考虑辐射传热，两端换热系数为：113W/(m2·k)和 8.496W/(m2·k)。表明热辐射对传热过程影响较小可以忽略。
对于问题二：以第二层厚度最小为优化目标，综合 60min 内最大温度、超过 44℃时间和厚度范围等约束，建立厚度调整单变量优化模型。将模型求解转换为约束条件临界值求解问题，得到第二层和第四层最小厚度分别为：17.5mm，此时最大温度为44.0799℃，超过 44℃时间低于 5min。从理论和结果进行分析，得到第二层材料对最大温度影响占次要因素，厚度增加主要影响传热速度的结论。
对于问题三：考虑舒适性、节约性、性能稳定性和研发效率等因素，以第二层和第四层厚度最小为优化目标，综合 30min 内最大温度、超过 44℃时间和厚度限制等约束条件，建立作业服设计的多目标优化模型。求解过程中，将多目标问题转化为单目标问题，根据问题二解法求解得到第二层和第四层最优厚度设计分别为：19.2mm 和 6.4mm。此时最大温度为 44.7721℃，超过 44℃时间低于 5min。扩展模型，研究各层材料在传热过程中的不同作用效果，得到：第二层材料可延缓传热过程，适用于长时间作业环境；第四层材料增强隔热性能，适用于高温作业环境的结论。
最后对本文所建立模型进行了讨论和分析，综合评价模型，并提出了改进和推广的方向。

模型假设：

假设 1：不考虑作业服水汽、汗液蒸发等传热传质过程；
假设 2：以第四层(空气层)底层温度表示人体皮肤外侧温度；
假设 3：不考虑接触面之间的接触热阻，认为接触面界面连续；
假设 4：简化为一维传热问题，不考虑其他不均匀热源和传热过程；
假设 5：人体为绝对黑体，即辐射发射率为 1。

问题分析：

高温作业服的设计问题，实质上是综合考虑各种传热方式，对作业服建立非稳态传热模型，并应用于求解温度分布和参数优化问题。模型的核心在于传热模型的建立及应用。

问题一分析

问题一已给定各层材料厚度及环境温度。并测试得到了假人皮肤外侧的温度变化信息。要求解温度分布，需要根据题目信息，综合考虑各种传热方式及边界条件，建立完整的传热模型。对于模型建立过程中的未知参数，通过传热模型建立参数与实测温度的数值关系描述，并求解得到最优参数应用于后续求解过程。作业服传热模型考虑的是非稳态传热，即需要建立温度与时间的关系，得到整个传热过程的具体时间描述，刻画非稳态过程的温度分布及传热特性。

问题二分析

问题二实质上是建立在问题一非稳态传热模型基础上的参数优化模型。目的是求解第二层的最优厚度。此处最优应使制造成本尽量小，以厚度最小化作为优化目标，以皮肤外侧温度和超过 44℃的时间作为约束条件，求解满足条件的作业服最优设计。

问题三分析

问题三额外增加了第四层的厚度设计，需综合考虑研发制作成本、衣服笨重程度、人体舒适程度等因素，建立多目标优化模型。在满足最大温度约束和高温时间约束的条件下，通过非稳态传热模型求解最优设计。为进一步深入研究作业服的传热过程和实际应用，对模型进一步扩展进行研究。

模型的建立与求解整体论文缩略图

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程序代码：(代码和文档not free)

The actual procedure is shown in the screenshot

function [ T ] = skinT( ah1,ah2 )
%skinT 已知 h1,h2 求皮肤表面的温度
% h1 是外界与衣服最外层的对流传热系数
% h2 是空气层与皮肤的对流传热系数
% T 是皮肤的温度
rho=[300,862,74.2,1.18]; %常数的设置
c=[1377,2100,1726,1005];
lam=[0.082,0.37,0.045,0.028];
x=[0.0006,0.006,0.0036,0.005]; %每层的宽度
dx=[0.0001,0.001,0.0006,0.001]; %空间步长
dt=0.002; %时间步长
Tout=75;Tin=37; %初始温度
LEN1=int8(x(1)/dx(1))+1; %记录每段接触点的位置
LEN2=LEN1+x(2)/dx(2);
LEN3=LEN2+x(3)/dx(3);
LEN4=LEN3+x(4)/dx(4);
T=zeros(5400/dt,LEN4);
T(1,:)=37; %第 0 秒设置所有点的温度是 37
h1=ah1;h2=ah2; %设置对流交换系数
for n=1:5400/dt-1unknow=(h1*(Tout-T(n,1))-lam(1)*(T(n,1)-T(n,2))/dx(1))*dt/(0.5*dx(1)*rho(1)*c(1))+T(n,1);T(n+1,1)=unknow;for i=2:LEN1 if i>=2&&i<=LEN1-1unknow=lam(1)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(1)*dt/(dx(1)*rho(1)*c(1))+T(n,i); T(n+1,i)=unknow;elseif i==LEN1 unknow=(lam(2)*(T(n,i+1)-T(n,i))/dx(2)+lam(1)*(T(n,i-1)-T(n,i))/dx(1))*...dt/(0.5*(dx(1)*rho(1)*c(1)+dx(2)*rho(2)*c(2)))+T(n,i);T(n+1,i)=unknow;endendfor i=LEN1+1:LEN2if i>=LEN1+1&&i<=LEN2-1unknow=lam(2)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(2)*dt/(dx(2)*rho(2)*c(2))+T(n,i); T(n+1,i)=unknow;elseif i==LEN2unknow=(lam(3)*(T(n,i+1)-T(n,i))/dx(3)+lam(2)*(T(n,i-1)-T(n,i))/dx(2))*...dt/(0.5*(dx(2)*rho(2)*c(2)+dx(3)*rho(3)*c(3)))+T(n,i);T(n+1,i)=unknow;endendfor i=LEN2+1:LEN3 if i>=LEN2+1&&i<=LEN3-1unknow=lam(3)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(3)*dt/(dx(3)*rho(3)*c(3))+T(n,i); T(n+1,i)=unknow;elseif i==LEN3unknow=(lam(4)*(T(n,i+1)-T(n,i))/dx(4)+lam(3)*(T(n,i-1)-T(n,i))/dx(3))*...dt/(0.5*(dx(3)*rho(3)*c(3)+dx(4)*rho(4)*c(4)))+T(n,i);T(n+1,i)=unknow;endendfor i=LEN3+1:LEN4 if i>=LEN3+1&&i<=LEN4-1unknow=lam(4)*(T(n,i+1)-2*T(n,i)+T(n,i-1))/dx(4)*dt/(dx(4)*rho(4)*c(4))+T(n,i); T(n+1,i)=unknow;elseif i==LEN4unknow=(lam(4)*(T(n,LEN4-1)-T(n,LEN4))/dx(4)-h2*(T(n,LEN4)-Tin))*...dt/(0.5*dx(4)*rho(4)*c(4))+T(n,LEN4);T(n+1,i)=unknow;endend
end
T=T(:,LEN4);
T=T(1:500:5400/dt);
end

clear,clc
data1 = xlsread('data.xlsx',2,'B3:B5402');
F = zeros(31,31);
m = 0;
for i = linspace(111,113,31)n = 0; m = m+1;for j = linspace(8.33,8.35,31)n = n+1;ticF(m,n) = (skinT(i,j)-data1)'*(skinT(i,j)-data1);tocend
end
a=min(min(F));
[x,y]=find(F==a);
%绘制最佳的拟合图
T1=skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y);
figure(1)
plot(1:5400,T1,'r','LineWidth',1.5),hold on;
T2=xlsread('data.xlsx',2,'B3:B5402');
plot(1:5400,T2,'b:','LineWidth',1.5)
legend('模拟数据','实测数据','Location','Northwest')
%计算最大级差以及残差的平方和
R = (skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y)-data1)'*(skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y)-data1);
a=max(skinT(110.9+0.1*x,8.329+0.001*y)-data1);

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